¿Cuáles son los pasos para resolver esta sencilla ecuación algebraica?

Question

Esta es la ecuación que utilizo para calcular un margen porcentual entre los precios de coste y de venta, donde $x$ = precio de venta y $y$ = precio de coste:

\begin {Ecuación} z= \frac {x-y}{x}*100 \end {Ecuación}

Esto se puede resolver para $x$ para dar la siguiente ecuación, que calcula el precio de venta en función del precio de coste y el porcentaje de margen:

\begin {ecuación} x= \frac {y}{1-( \frac {z}{100})} \end {Ecuación}

Mi pregunta es, ¿cuáles son los pasos para resolver la primera ecuación de $x$ ? Han pasado 11 años desde la última vez que hice álgebra en el colegio y no consigo entenderlo.

Supongo que el primer paso es dividir ambos lados por $100$ así:

\begin {Ecuación} \frac {z}{100}= \frac {x-y}{x} \end {Ecuación}

¿Y luego qué? Multiplico ambos lados por $x$ ? Si es así, ¿cómo puedo reducir la ecuación a una sola $x$ ?

Answer 1

En primer lugar, despeja el denominador multiplicando ambos lados por $x$ : \begin {align*} z &= \frac {100(x-y)}{x} \\ zx &= 100(x-y) \end {align*} A continuación, mueve todos los términos que tienen un $x$ en ella a un lado de la ecuación, todos los demás términos al otro lado, y factorizar el $x$ : \begin {align*} zx &= 100x - 100y \\ zx - 100x &= -100y \\ x(z-100) &= -100y \end {align*} Ahora divide por $z-100$ para resolver $x$ ; tienes que preocuparte de dividir por $0$ pero para que $z-100$ para ser $0$ , necesitas $z=100$ la única manera de que $z$ sea igual a $100$ es si $\frac{x-y}{x}=1$ es decir, si $x-y=x$ es decir, si $y=0$ . Dado que, presumiblemente, no se obtienen las cosas de forma gratuita, se puede asumir que $y\neq 0$ por lo que esta división es válida. Lo tienes: $$x = \frac{-100y}{z-100}.$$ Ahora, para ponerlo en forma más bonita, usa el signo menos en el numerador para cambiar el denominador de $z-100$ a $100-z$ . A continuación, divide el numerador y el denominador por $100$ para ponerlo en la forma que tienes: \begin {align*} x & = \frac {-100y}{z-100} \\ x &= \frac {100y}{100-z} \\ x &= \frac { \frac {1}{100} \left (100 y \right )}{ \frac {1}{100}(100-z)} \\ x &= \frac {y}{1 - \frac {z}{100}}. \end {align*}

Añadido: Alternativamente, siguiendo el muy buen punto de Myself, puedes ir a "des-simplificar" $\frac{x-y}{x}$ a $1 - \frac{y}{x}$ , para pasar de $$\frac{z}{100} = \frac{x-y}{x} = 1 - \frac{y}{x}$$ a $$\frac{y}{x} = 1 - \frac{z}{100}.$$ Tomando los recíprocos y multiplicando por $y$ da \begin {align*} \frac {x}{y} = \frac {1}{1 - \frac {z}{100}} \\ x = \frac {y}{1- \frac {z}{100}} \end {align*} que es probablemente la forma en que la expresión particular que usted tenía (a diferencia de $\frac{100y}{100-z}$ ) surgió en primer lugar.

Answer 2

$$ z = 100 \cdot \frac{x-y}{x}$$

$$ zx = 100(x-y)$$

$$zx - 100x = -100y$$

$$x(z-100) = -100y$$

$$x = -\frac{100y}{z-100}$$

A continuación, divide el numerador y el denominador por $-100$ para conseguir $$x = \frac{y}{1-(\frac{z}{100})}$$

Answer 3

Si se multiplica un $x$ a cada lado, terminará con $$ x \Big(\frac{z}{100}\Big) = x - y $$

Sin embargo, un $ x $ sigue apareciendo tanto en el lado izquierdo como en el derecho de la ecuación anterior. Reducir $ \frac{x -y}{x} $ a una sola variable $ x $ reescribiendo esa expresión como $$ \frac{x -y}{x} = \frac{x}{x} - \frac{y}{x} = 1 - \frac{y}{x} $$

Así, $$ \frac{z}{100} = 1 - \frac{y}{x} $$

Se puede proceder en consecuencia para resolver $x$ .