Hipotética contradicción a Bolzano-Weierstrass

Question

hemos aprendido acerca de la de Bolzano-Weierstrass teorema que establece que si una sucesión es acotada, entonces tiene un larga que converge a un límite finito. Vamos a definir $a_n$ como los dígitos de $\pi$, es decir,$a_1$ = 3, $a_2$ = 1, $a_3$ = 4, y así infinitamente. Ciertamente, esta secuencia está delimitado por 10 y 0, pero no puedo pensar en ninguna subsequence que convergerán para nada. Puede usted ayudar a resolver mi confusión?

Answer 1

Asegúrese de tomar el subsequence de cada ocurrencia de $1$. Si no hay infinitamente muchos $1$s, a continuación, $2$s; si no $2$s, a continuación, $3$s, etc. Como $\pi$ es irracional, al menos uno distinto de cero dígitos en la expansión decimal se repite infinidad de veces.