Una pregunta acerca de los infinitos y botes de pintura

Question

Esta pregunta está inspirada en http://math.stackexchange.com/a/1052384/66307 y citas de mucho.

Tomar un countably infinito caja de pinturas; esto significa que tiene un color de pintura para cada entero positivo; por lo tanto, podemos llamar a los colores $C_1, C_2, $ y así sucesivamente. Tome el conjunto de los números reales, e imaginar que cada número real está pintado con uno de los colores de la pintura.

Ahora la pregunta: ¿existen tres diferentes números reales $a,b,c$, todas pintadas del mismo color, de tal manera que $$a+b=c$$

Estos $a,b,c$, no todos cero, existen independientemente de cómo hábilmente los números son en realidad de color?

Answer 1

El papel que he citado en la anterior pregunta se refiere precisamente a este asunto:

Hay un $\aleph_0$colorear de los números reales distintos de cero, sin un monocromático solución a la Schur ecuación de $x+y=z$ en variables distintas.

La coloración es muy simple. Primero pintamos el positivo de reales, de modo que no es monocromática solución en positivo reales: simplemente el color de cada una de las $x$ con el color de la $\lfloor\log_2 x\rfloor$. El número de $x$ es de color con el color de la $i$ si y sólo si $x$ se encuentra en el intervalo de $[2^i, 2^{i+1})$. Entonces si $x$ $y$ están en $[2^i, 2^{i+1})$ su suma es $[2^{i+1}, 2^{i+2})$, por lo que es de color con el color de la $i+1$.

Ahora volver a numerar los colores de los reales positivos, de modo que en lugar de ser todos los números enteros, que son todos los números enteros excepto el cero. El Color de la negativa de reales del mismo modo el uso de los números enteros impares: si $x$ es positivo y tiene un color $2i$, $-x$ obtiene el color de $2i-1$. Finalmente, color $0$ color $0$.

• Fox, J. "Un infinito de color análogo de Rado del teorema de" J. Combinatoria Teoría, 114 #8 (Noviembre de 2007) pp1456–1469 (archivo PDF)

Answer 2

Es al menos consistente que la respuesta sea no.

Suponga $\mathsf{CH}$, y deje $\{x_\xi:\xi<\omega_1\}$ ser una enumeración de $\Bbb R$. Para $\eta<\omega_1$ deje $X_\eta$ es el cierre de $\{x_\xi:\xi<\eta\}$ bajo la suma y la resta, y observar que $X_\eta$ es contable. Para $\eta<\omega_1$ deje $D_\eta=X_\eta\setminus\bigcup_{\xi<\eta}D_\xi$, y vamos a $\mathscr{D}=\{D_\eta:\eta<\omega_1\}$; $\mathscr{D}$ es una partición de a $\Bbb R$ en numerables de conjuntos. Para cada una de las $\eta<\omega_1$ deje $f_\eta:D_\eta\to\omega$ ser una inyección, y deje $f=\bigcup_{\eta<\omega_1}f_\eta$.

Supongamos que $a,b,c\in\Bbb R$ son distintos, y que $a+b=c$. Deje $\eta=\min\{\xi<\omega_1:a,b,c\in X_\xi\}$; a continuación, $|\{a,b,c\}\cap X_\xi|\le 1$ por cada $\xi<\eta$. De ello se desprende que $|\{a,b,c\}\cap D_\eta|\ge 2$ y que, por ende, $\{a,b,c\}$ no es monocromática.