Demostrar que $f\in L^2$ $\lim_{n\rightarrow\infty} \int_A f_n = \int_Af$

Question

Deje $A$ ser claramente delimitado, medibles susbset de $\mathbb{R}$. Probar que si $(f_n) \subset L^2 (A)$ converge uniformemente a$f$$A$,$f\in L^2(A)$$\lim_{n\rightarrow\infty} \int_A f_n = \int_Af$.

Claramente $f$ es medible. Tenemos que mostrar que $\int_A f^2 < \infty$. Elija $\epsilon>0$. De la convergencia uniforme podemos encontrar $N\in\mathbb{N}$ tal que $|f_{n_0}(x)-f(x)|<\epsilon$ todos los $x\in A$ y algunos $n_0>N$. Ahora denotar por $A^-$ parte de los a $A$ donde $f$ es negativo y por $A^+$ parte de los a $A$ donde $f$ es positivo. Desde $f$ es medible, ambos conjuntos son medibles.

Tenemos $-f(x)<\epsilon - f_{n_0}(x)$ $\int_{A^-} f^2< \int_{A^{-}}(\epsilon-f_{n_0})^2<\infty$ (puesto que a es acotado).

Del mismo modo, desde la $f(x)<\epsilon + f_{n_0}(x)$, obtenemos $\int_{A^+} f^2< \int_{A^{+}}(\epsilon+f_{n_0})^2<\infty$, y podemos concluir que $f\in L^2 (A)$.

Queda por demostrar que $\lim_{n\rightarrow\infty} \int_A f_n = \int_Af$. Primero debemos establecer la convergencia en $L^2$$A$:

$$\|f_n-f\|_2^2=\int_A |f_n(x)-f(x)|^2\,dx \leq m(A) \left(\sup_{x \in A}|f_n(x)-f(x)|\right)^2 \to 0$$

Ahora podemos utilizar CS de la desigualdad y la conclusión de que $\lim_{n\rightarrow\infty} \int_A f_n = \int_Af$.

Es mi derivación correcta?

Answer 1

Vamos $$g_n = f_n - f.$$ Then $g_n$ converges uniformly to zero. Since $$\|g_n\|_2 \le m(A)\|g_n\|_\infty,$$ we have what we need. Note that $$ debe ser finito de medida, o este se rompe.