Deje A ser claramente delimitado, medibles susbset de \mathbb{R}. Probar que si (f_n) \subset L^2 (A) converge uniformemente afA,f\in L^2(A)\lim_{n\rightarrow\infty} \int_A f_n = \int_Af.
Claramente f es medible. Tenemos que mostrar que \int_A f^2 < \infty. Elija \epsilon>0. De la convergencia uniforme podemos encontrar N\in\mathbb{N} tal que |f_{n_0}(x)-f(x)|<\epsilon todos los x\in A y algunos n_0>N. Ahora denotar por A^- parte de los a A donde f es negativo y por A^+ parte de los a A donde f es positivo. Desde f es medible, ambos conjuntos son medibles.
Tenemos -f(x)<\epsilon - f_{n_0}(x) \int_{A^-} f^2< \int_{A^{-}}(\epsilon-f_{n_0})^2<\infty (puesto que a es acotado).
Del mismo modo, desde la f(x)<\epsilon + f_{n_0}(x), obtenemos \int_{A^+} f^2< \int_{A^{+}}(\epsilon+f_{n_0})^2<\infty, y podemos concluir que f\in L^2 (A).
Queda por demostrar que \lim_{n\rightarrow\infty} \int_A f_n = \int_Af. Primero debemos establecer la convergencia en L^2A:
\|f_n-f\|_2^2=\int_A |f_n(x)-f(x)|^2\,dx \leq m(A) \left(\sup_{x \in A}|f_n(x)-f(x)|\right)^2 \to 0
Ahora podemos utilizar CS de la desigualdad y la conclusión de que \lim_{n\rightarrow\infty} \int_A f_n = \int_Af.
Es mi derivación correcta?