¿Qué tipo de objeto es "el producto de todos los objetos de una categoría"?

Question

Deje que nos denota el conjunto de todos los objetos de una pequeña completa categoría por $C^{\bullet}$. Mi pregunta tiene que ver con el límite del diagrama $$C^{\bullet} \longrightarrow C$$ which sends every morphism of $C^{\bullet}$, que todos ellos pasan a ser las identidades, las identidades. ¿Qué tipo de objeto es el límite (o colimit para esa materia) del diagrama anterior. Por ejemplo, la categoría de conjuntos finitos no tiene el producto de todos sus objetos. Quizás tendré que buscar más peculiar categorías de FinSet para la reunión de un animal.

Gracias.

Answer 1

Yo la disputa por encima de las respuestas que podemos (en su mayoría) restringir nuestra atención a las pre-ordenes; por ejemplo, la categoría de $\mathsf{FinSet}$ tiene un producto de todos los objetos, y es simplemente el conjunto vacío con vacío proyecciones. Del mismo modo, $\mathsf{Set}$ $\mathsf{Top}$ contienen productos de todos los objetos, y muchos más ejemplos similares se pueden dar.

Edit: Ah, aws publicado un minuto antes de mí; yo no vi el comentario en el tiempo.

Answer 2

Aquí es un resultado relevante mostrar que dichas categorías son probablemente muy raro. Freyd mostró que si una categoría pequeña tiene todos los límites de los pequeños, entonces debe ser un preorder. Por lo que podemos más o menos a reducir, para el caso de que $C$ es un poset, en cuyo caso el producto de todos los objetos es un elemento más pequeño (si es que existe).

Answer 3

Un sencillo ejemplo: supongamos $X$ ser un conjunto, $P_X$ ser el preorder de sus subconjuntos, ordenados por inclusión. A continuación, el producto de todos los objetos en $P_X$ $\varnothing$(vacío es subconjunto de a $X$), y el subproducto de todos los objetos en $P_X$(que es colimit de su diagrama) se $X$(que también es subconjunto de a $X$).