Análisis de Riemann-Roch del anillo divisor de puntos en una superficie de Riemann suave de género 3

Question

Dejemos que $C=C_4\subset\mathbb{P}^2$ sea la superficie lisa de Riemann de género 3 dada por una curva cuártica. Sea $P\in C$ sea un punto, y $D=P$ el divisor dado por el punto $P$ . Sea $R(D)=\bigoplus_{n\geqslant0}\mathcal{L}(nD)$ sea el anillo graduado asociado al divisor $D$ .

Sabemos que un divisor canónico $k$ en $C$ tiene grado $2g-2=4$ y que, por tanto, es linealmente equivalente a un hiperplano divisor $H=H_L$ para cualquier línea $L\subset\mathbb{P}^2$ .

Así que por Riemann-Roch, sabemos que $\ell(nD)=n-2$ para $n\geqslant5$ desde entonces $\deg(k-nD)<0$ así $\ell(k-nD)=0$ .

Mi pregunta entonces es cómo se calcula $\ell(nD)$ para $n=2,3,4$ ?

Los casos $n=0,1$ danos $\ell(nD)=1$ y sabemos que $\ell(nD)$ es no decreciente. Si además podemos demostrar que $\ell(nD),\ell(k-nD)>0$ entonces podemos utilizar el teorema de Clifford para obtener algunos límites, pero esto todavía nos da algunas opciones posibles.

Answer 1

No hay una respuesta uniforme a su pregunta: los números $l(3P)$ y $l(4P)$ que usted pregunta depende de la curva $C$ y en el punto $P$ .

a) Siempre tenemos $l(2P)=1$
Sí, es cierto, $1\leq l(2P)\leq 2$ para una curva de género positivo mientras que para el género $g\geq 2$ la existencia de un punto $P$ con $l(2P)=2$ caracteriza las curvas hiperelípticas.
Sin embargo, una curva plana suave nunca es hiperelíptica y, en nuestro caso, tenemos $l(2P)=1$ .

b) Tenemos $l(4P)=2$ o $3$
La dualidad Riemann-Roch y Serre produce $l(4P)=2+l(K-4P)$ .
Dado que, como has mencionado, los divisores canónicos son exactamente las secciones de los hiperplanos, tenemos $l(K-4P)=1$ o $0$ según la tangente a $C$ en $P$ cortes $C$ en $4$ puntos o en menos de $4$ puntos.
Por supuesto que genéricamente esta tangente corta $C$ en dos puntos , por lo que genéricamente $l(K-4P)=0$ y por lo tanto $l(4P)=2$ .
Sin embargo, puede ocurrir que la tangente en $P$ cortes $C$ en $4$ puntos: este es el caso de $P=[1:e^{\frac {i\pi}{4}}:0]$ en la curva de Fermat $x^4+y^4+z^4=0$ .
En estos casos $l(4P)=3$ .

c) Tenemos $l(3P)=1$ o $2$
i) Si $l(4P)=3$ necesariamente tenemos $l(3P)=2$ ya que $l(4P)-1=2\leq l(3P)\leq l(2P)+1=2$ .
ii) Si $l(4P)=2$ tenemos $l(3P)=1$ o $2$ : genéricamente $l(3P)=1$ pero $l(3P)=2$ si $P$ es un punto de inflexión de $C$ .
(Recordemos que un cuártico suave tiene entre $1$ y $24$ puntos de inflexión.
Más precisamente tiene 24 puntos de inflexión si los contamos con una multiplicidad adecuada)