En qué cuadrante se debe el MCD de dos enteros de Gauss con ambas partes real e imaginaria?

Question

Ejemplos:

$$\gcd(-9 - 3i, -2 + i)$$

$$\gcd(9 + 3i, -2 - i)$$

$$\gcd(-9 - 3i, -2 - i)$$

$$\gcd(-3 - 9i, -2 + i)$$

$$\gcd(-3 + 9i, -1 + 2i)$$

He puesto estos a través de Wolfram Alpha y, para algunos, conseguido exactamente el resultado que yo esperaba, pero para algunos que yo he sido sorprendido por los resultados, pero soy muy consciente de que WA en algunos casos puede confundirse y llegar a un resultado erróneo.

Para la justificación de las respuestas, sin embargo absurdo que pueda parecer, estoy más interesado en algo que sigue a la lógica y al sentido común de la analogía a $\mathbb{Z}$ y el algoritmo de Euclides, en lugar de algo que involucra algunos exóticos objeto matemático que se presenta como parte de un accesorio de medición de concurso.

Pregunta extra: ¿cómo prolijamente hace esto llevar a otros cuadrática imaginario anillos que son Euclidiana? ¿Qué acerca de reales?

Answer 1

Es el $\gcd$ $12$ $8$ igual a $4$ o a $-4$?

• Debe ser un divisor de a$8$$12$.
• Tampoco debe dividir cualquier otro número que divide tanto a a$8$$12$.

$4$ no dividir a otro número que divide tanto a a$8$$12$, es decir,$-4$, e $-4$ no dividir a otro número que divide tanto a a$8$$12$, es decir,$4$.

Los dos desiderata por encima de la necesidad de algunos de revisión una vez que el trabajo fuera del conjunto de los enteros positivos. Lo que se hace es esto: $4$ se considera equivalente a $-4$ debido a que existe una "unidad" por el cual $4$ puede ser multiplicado para obtener $-4$, y que "la unidad" es $-1$. Una "unidad" es un divisor de a $1$. Dentro de los enteros de Gauss, hay cuatro unidades: $\pm1,\pm i$. Los cuatro son divisores de $1$ dentro de los enteros de Gauss. No hay Gaussiano entero por que $3$ puede ser multiplicado para obtener $1$, lo $3$ es no una "unidad".

Así $1+2i$, $-2+i$, $-1-2i$, $2-i$ son todos equivalentes, pues cualquiera de ellos puede ser multiplicado por uno de los cuatro "unidades" para conseguir uno de los otros.

En ese sentido, no importa que se informa, es el $\gcd$.

Sin embargo, si uno se para adoptar un convenio que la respuesta debe ser siempre en el primer cuadrante y no un imaginario puro, entonces uno tiene una "forma canónica", y las formas canónicas proporcionar una manera de saber si dos cosas son iguales: son iguales si son idénticas una vez reducido a la forma canónica. Así, por ejemplo, uno pone simples expresiones radicales en "forma radical más simple" y, a continuación, uno puede decir que si dos de ellos son iguales.

Answer 2

Cada gaussiana prime $z$ tiene cuatro asociados

$$z, iz, -z, -iz$$

Siempre habrá exactamente uno de los asociados en el primer cuadrante o en el eje real positivo.

Si desea algún tipo de singularidad a la descomposición en factores primos, entonces usted podría hacerlo de esta manera.