Inmersión suave de grafos en el plano

Question

Perdón si la terminología es incorrecta, no conozco la topología diferencial. Además, esto es más un rompecabezas que una pregunta de investigación de buena fe, pero espero que sea un rompecabezas de nivel "matemático real".

Así que la desigualdad del número de cruces da un límite inferior para el número de intersecciones que hay que tener si se dibuja un grafo con suficientes aristas en el plano. La cuestión es que la desigualdad del número de cruces cuenta las intersecciones "con multiplicidad". Es bastante fácil ver que si no cuentas intersecciones con multiplicidad, puedes dibujar cualquier grafo finito en el plano con un solo "punto de cruce".

Sin embargo, aunque existe una descripción explícita fácil de dicho dibujo, los bordes no son suaves (¡ni siquiera diferenciables en primer lugar!) Así que mi pregunta tiene dos partes:

1. ¿Existe un dibujo de K_n en el plano tal que haya exactamente un punto en el que las aristas puedan intersecarse, y todas las aristas sean incrustaciones suaves del intervalo unitario (abierto) en R^2?

2. ¿Existe una descripción explícita de dicho dibujo? (Por ejemplo, ¿se pueden escribir las aristas como curvas algebraicas reales?)

(Nota para los moderadores: tal vez quieran etiquetar esto como "recreativo" o "rompecabezas" o algo por el estilo; yo no tengo 250 de reputación y por eso no puedo. :-/)

Answer 1

¿Cuál es la "descripción explícita fácil" a la que se refiere? Tengo algunos dibujos para, por ejemplo, K_6, pero no consigo convencerme de que generalicen.

Answer 2

Si un grafo puede incrustarse en el plano con aristas suaves y un punto de cruce, entonces puede incrustarse suavemente en el plano proyectivo sin cruces, volando el punto de cruce (e inversamente). Pero no todo grafo puede incrustarse en el plano proyectivo, por lo que no todo grafo tiene una incrustación suave del tipo que describes.