Es allí una manera sistemática de encontrar la clase conjugacy y/o centralizador de un elemento?

Question

Es allí una manera sistemática de encontrar la clase conjugacy y centralizador de un elemento? Podría la tarea se simplifica si estamos trabajando con "grupos especiales", tales como $S_n$ o $A_n$? Hay intuitiva enfoques? Gracias.

Answer 1

Para un grupo finito, hay una excelente manera sistemática: para encontrar la clase conjugacy de $x$, al calcular cada elemento $g^{-1}xg$, y para encontrar el centralizador, basta con comparar los $gx$ $xg$todos los $g$ en el grupo.

Para $S_n$, dos elementos son conjugadas si y sólo si tienen la misma estructura del ciclo. Por lo $(123)(45)$ es conjugado a $(396)(47)$$S_9$, pero no a $(12)(45)$ o $(12345)$ o....

Hay un montón de maneras de utilizar otros hechos que usted puede saber acerca de un grupo o sobre un elemento en un grupo para simplificar el cálculo de una clase conjugacy o un centralizador, pero me temo que no hay ninguna forma sistemática a la lista de todos estos hechos. Vienen con la realización de ejemplos o lectura de los ejemplos desarrollados en los libros de texto.