Resolver una ecuación radical para el real $x$

Question

Resolver para $x \in \mathbb{R}$

$$\dfrac{\sqrt{x^2-x+2}}{1+\sqrt{-x^2+x+2}} - \dfrac{\sqrt{x^2+x}}{1+\sqrt{-x^2-x+4}} = x^2-1$$

Intenté elevar la ecuación al cuadrado pero se convirtió en una ecuación de dieciséis grados. También probé con sustituciones, pero eso no ayudó. Debe haber alguna solución elegante en su forma actual.

Se agradecerá cualquier ayuda.
Gracias.

Answer 1

En primer lugar, tenemos que encontrar qué valores de $x$ son aceptables. Resolver las desigualdades: $$\begin{array}[t]{rl} x^2-x+2 &\ge 0\\ x^2+x &\ge 0 \\ -x^2+x+2 &\ge 0\\ -x^2-x+4 &\ge 0 \end{array} $$ produce $$\left.\begin{array}{l} x \in \mathbb R\\ x \in (-\infty,-1] \cup [0,+\infty)\\ x \in [-1,2] \\ x\in \left[ \frac{-1-\sqrt{17}}{2},\frac{-1+\sqrt{17}}{2}\right] \end{array}\right\}\implies x\in \{-1\} \cup \left[0,\frac{-1+\sqrt{17}}{2}\right]. $$

Podemos ver que $x = -1$ no es una solución, por lo que buscamos soluciones no negativas.

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Para $ x \in [0,1)$ el lado derecho es negativo. Pero en ese caso tenemos que el primer numerador es mayor que el segundo (esto se puede derivar fácilmente resolviendo la desigualdad $\sqrt{x^2-x+2} \gt \sqrt{x^2+x}$ ) y el primer denominador es menor que el segundo, por lo que la primera fracción es siempre mayor que la segunda, por lo que su diferencia es positiva. Por lo tanto, no hay soluciones en $[0,1)$ .

Del mismo modo, para $x\in \left(1,\frac{-1+\sqrt{17}}{2}\right]$ tenemos que el RHS es positivo y el LHS es negativo.

Esto implica que la única solución real es $x = 1$ .