¿Hay al menos una $n_0 \in \mathbb N$ para la que esta secuencia asociada produce un número infinito de primos?

Question

Como hay mucha libertad en las formas en que podemos formar secuencias de números y hacer preguntas sobre ellas, definí la secuencia de números asociada a cada número natural de esta manera:

Elige algún número natural $n$ . Suma sus dígitos en base $10$ y concatenarlos con el número elegido para ponerlos a la izquierda para formar un nuevo número. Hacer lo mismo con el nuevo número. Y así sucesivamente...

Para aclararlo, añadamos un ejemplo:

Elige, por ejemplo, $n=13$ . Entonces $DS_{10}(13)=1+3=4$ y obtenemos un nuevo número $413$ . Ahora tenemos $DS_{10}(413)=4+1+3=8$ y obtenemos $8413$ y después $168413$ y así sucesivamente... Es obvio que podemos hacer esto con cada número natural para obtener una secuencia infinita $d(n)$ asociado a cada $n \in \mathbb N$ .

La pregunta es:

¿Hay al menos una $n_0 \in \mathbb N$ tal que $d(n_0)$ tiene un número infinito de números primos en sí mismo?

Además, los esfuerzos computacionales son muy bienvenidos.

Answer 1

Me temo que, como estos números crecen súper rápido, va a ser difícil simular el proceso para grandes entradas. Sin embargo, hice un esfuerzo computacional, y este es el resultado para todos los primos por debajo de $25000$ (se tardó 2,5 minutos en calcularlo). La cadena más larga era de seis números:

We try with 4021
We try with 74021
We try with 1474021
We try with 191474021
We try with 29191474021
We try with 40029191474021
4021 lasted 6

A pesar de que no utilicé el mejor algoritmo (el más eficiente) para hacer la prueba de primalidad, la diferencia no valdría la pena.