Respuesta corta, sin referencia a la "primera orden lógica" o "lógica modal": $P$ $Q$ son proposiciones válidas en el contexto apropiado, por lo tanto no hay ninguna razón por la que sus dos frases no deben ser proposiciones válidas. Tenga en cuenta que tengo que interpretar los "válida la proposición" en el sentido de "admisible de la propuesta". Usted se pregunta sobre el valor de $x$ aquí. El típico contexto en el "primer orden lógico" es que el $x$ tiene un valor fijo, pero esto a veces confunde a la gente (porque tal proposición rara vez es útil en el aislamiento). En otros contextos como el razonamiento ecuacional, también es posible que $x$ es implícitamente universalmente calificados (es decir, la proposición hace una declaración acerca de todos los posibles $x$).
En el contexto apropiado, tanto de sus frases pueden ser proposiciones válidas. Vamos a empezar con $x^2 = 1$, porque ya se indicó en un "azucarada" lenguaje formal. Vamos a asumir su "desugared" fórmula para ser $x\cdot x = 1$. A continuación, será válida la proposición de primer orden lenguaje que contiene una constante "$1$" y un operador binario "$\cdot$". Aquí tengo que interpretar los "válida la proposición" como miembro de la correspondiente "lenguaje formal", es decir, en el sentido de "admisible de la propuesta". Así que la propuesta podría ser falsa para algunos de interpretación, pero también sería válido.
Usted se pregunta sobre el valor de $x$ aquí. En el contexto de la lógica de primer orden, el valor de $x$ es fijo como parte de la interpretación. En el contexto de razonamiento ecuacional o álgebra universal por otro lado, la ecuación (que no suelen hablar acerca de las proposiciones en este contexto, sólo alrededor de ecuaciones y cláusulas) sólo es cierto que (por desgracia, la palabra correcta en este contexto sería "válido") si es verdadero para todos los valores posibles de a $x$. De todos modos, el punto es que la semántica formal a menudo permite a las variables libres, y se encarga de darles un adecuado significado en la interpretación.
Tu segunda frase "Hoy es jueves" sólo sería utilizado como un ejemplo de una proposición en el contexto de la lógica modal. En lógica modal, tenemos tanto una interpretación y una colección de mundos, y evaluamos la verdad de una proposición para un determinado mundo. Por eso, la interpretación daría sentido a las palabras "Hoy", "jueves", así como el conectivo "X es Y". Las posibles fechas también sería fijado por la interpretación de los mundos posibles (y cómo estos mundos posibles están relacionados unos con otros por los operadores modales), pero la fecha real/mundo donde se evalúe esta proposición es una parte de la evaluación de contexto, y no como parte de la interpretación. Y las proposiciones son verdaderas o falsas con respecto a un determinado contexto de evaluación, que incluye una interpretación y un mundo.
Uno podría imaginar la designación de un mundo como el actual mundo como parte de la interpretación, pero no sé si esto se hace comúnmente. A partir de los textos de la lógica del modelo que he leído hasta ahora, lo he visto una vez o dos veces, pero parece más comunes para no hacer esto.
