No; la correlación no es equivalente a la asociación. Sin embargo, el significado de correlación depende del contexto.
La definición clásica de estadística es, citando la Enciclopedia de Ciencias Estadísticas de Kotz y Johnson, "una medida de la fuerza de la relación lineal entre dos variables aleatorias". En la estadística matemática, la "correlación" parece tener generalmente esta interpretación.
En los ámbitos aplicados en los que los datos suelen ser ordinales y no numéricos (por ejemplo, la psicometría y los estudios de mercado), esta definición no es tan útil, ya que el concepto de linealidad supone que los datos tienen propiedades de escala de intervalo. En consecuencia, en estos campos la correlación se interpreta en cambio como indicación de un patrón bivariante monotónicamente creciente o decreciente o, una correlación de los rangos. Para ello se han desarrollado una serie de estadísticas de correlación no paramétricas (por ejemplo, la correlación de Spearman y la tau-b de Kendall). A veces se denominan "correlaciones no lineales" porque son estadísticas de correlación que no asumen la linealidad.
Entre los no estadísticos, correlación suele significar asociación (a veces con y a veces sin connotación causal). Independientemente de la etimología de la correlación, la realidad es que entre los no estadísticos tiene este significado más amplio y no es probable que ninguna reprimenda por el uso inadecuado lo cambie. He buscado en Google y parece que algunos de los usos de la correlación no lineal parecen ser de este tipo (en particular, parece que algunas personas utilizan el término para denotar una relación no lineal suave entre variables numéricas).
La naturaleza dependiente del contexto del término "correlación no lineal" quizás signifique que es ambiguo y no debería utilizarse. En cuanto a "correlación", hay que averiguar el contexto de la persona que utiliza el término para saber a qué se refiere.
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A la inversa, también existe la "asociación lineal".