Encuentre $n$ si $2^{100} - 31 \cdot 2^{192} + 2^n$ es un cuadrado perfecto.

Question

Así pues, el problema escrito en el título es lo que tengo delante. Al ver el problema, mi primer intento fue escribir $31$ como $2^5 - 1$ . Al ampliar la expresión, ésta se reduce finalmente a

$$ 2^{100}(1 + 2^{92} - 2^{97} + 2^{n-100}) $$

Desde $2^{100}$ es un cuadrado perfecto, podemos dejarlo de lado y centrarnos sólo en la parte que está dentro del paréntesis. A partir de aquí, no veo ninguna salida.
Siguiendo el ejemplo de Si $2^{2017} + 2^{2014} + 2^n$ es un cuadrado perfecto, encuentre $n$ . decidí escribir la expresión como $$ (2^{50} - x)^2$$

que se abre como $$2^{100} - 2^{51}x + x^2$$

Después de esto estoy buscando comparar los términos respectivos pero no estoy entendiendo muy bien cómo hacerlo. Cualquier ayuda o cualquier nuevo enfoque sería apreciado.

Gracias.

Answer 1

No hay solución .

Primero, $\color{red}{n\gt196}$ desde $2^n+2^{100}\gt 31\cdot2^{192}\Rightarrow 2^{n-192}+\dfrac{1}{2^{92}}\gt31$ .

De ello se desprende que $1-31\cdot2^{92}+2^{n-100}$ es un número entero natural.

Si la afirmación del post es cierta, entonces $1-31\cdot2^{92}+2^{n-100}=(2^ay+1)^2$ con $y$ impar implica $$2^{92}(2^{n-192}-31)=2^{a+1}y(2^{a-1}y+1)\Rightarrow a=91$$ así que $$2^{n-192}=2^{90}y^2+y+31$$ Poner $y=2^by_1+1$ con $y_1$ impar so $$2^{n-192}=2^{90}(2^by_1+1)^2+2^by_1+2^5$$

$b\gt5$ y $b\lt5$ son imposibles porque ambos dan absurdos (par igual a impar y entero igual a no entero, respectivamente). Sea $b=5$ por lo que uno tiene $$2^{n-197}=2^{85}(2^5y_1+1)^2+y_1+1$$ Poner $y_1=2^cy_2+1$ donde $y_2$ es impar. Entonces $c=1$ si queremos evitar absurdos y la iteración del procedimiento tiene que hacer igual a $1$ todos los exponentes sucesivos $c_i$ en $y_i=2^{c_i}y_{i-1}+1$ hasta que el factor $2^{85}$ desaparece.

Mientras tanto, si $n\lt 197+85=282$ entonces podríamos tener "fracción = entero", absurdo por lo que necesitamos $\color{red}{n\ge 282}$ .

Al final tenemos la expresión $$2^N=(2M+1)^2+2=4M^2+4M+3$$ en el que si $N\gt0$ entonces "even =impar" y si $N=0$ entonces la ecuación $2M^2+2M+1=0$ sin solución real.