Por qué 1/x es de la primaria a la función?

Question

Esto es tan obvio, que $\frac{1}{x}$ es elemental función. Pero, ¿cómo esto puede ser demostrado? He estado buscando información y no he encontrado una lista completa de funciones elementales, y $\frac{1}{x}$ es uno de ellos. Es como un axioma, que es siempre verdadera. Hay muchas maneras de demostrar que diferentes compuestos funciones son primarias, sino $\frac{1}{x}$ siempre se considera elemental.

Fuimos a dar una lista de propiedades, basada en el cual debemos demostrar que $\frac{1}{x}$ es también elemental. Estoy muy confusa, porque no tengo idea de cómo empezar a probar. Agradecería cualquier tipo de ayuda.

La Base De Casos.

• Función identidad, $id(x) = x$ es en EF.
• Cualquier función constante es en EF.
• La función seno de $sin(x)$ es en EF

Constructor De Los Casos. Si $f,g \in EF$, entonces también lo son

• $f+g$, $fg$, $2^g$
• La función inversa $f^{-1}$;
• La composición de la $f \circ g$.

Original: Dada propiedades

Answer 1

Recordemos que $\cot x=\tan(\pi/2-x)$, por lo que $$ \frac{1}{x}=\cuna\arctan x $$ Más precisamente, para $x>0$ $$ \arctan x+\arctan\frac{1}{x}=\frac{\pi}{2} $$ así $$ \frac{1}{x}=\tan\left(\frac{\pi}{2}-\arctan x\right)=\cuna\arctan x $$ y, por $x<0$, $$ \arctan x+\arctan\frac{1}{x}=-\frac{\pi}{2} $$ así $$ \frac{1}{x}=\tan\left(-\frac{\pi}{2}-\arctan x\right)= -\cot(-\arctan x)=\cuna\arctan x $$ La tangente y la cotangente son primarias, porque son el seno y el coseno.

La función exponencial es de la primaria, debido a que $e^x=2^{x/\!\log 2}$. Por lo tanto, también el logaritmo natural es elemental. Así $$ \frac{1}{\cos^2x}=\exp(-\log(\cos^2x)) $$ es elemental y $$ \tan x=\sin x\cos x\frac{1}{\cos^2x} $$ De igual manera para la cotangente.

Answer 2

Desde $2^x$ es de primaria y funciones elementales son cerrados bajo la recíproca, $\log_2(x)$ es elemental. A continuación, $$\frac{1}{x} = x^{-1} = 2^{\log_2(x^{-1})} = 2^{(-1)\log_2(x)}.$$

Answer 3

Wikipedia dice que

En matemáticas, una función primaria es una función de una variable que es la composición de un número finito de operaciones aritméticas (+ – × ÷), exponenciales, logaritmos, constantes, y las soluciones de ecuaciones algebraicas (una generalización de las raíces enésimas).

Claramente, pasando por la definición anterior, $\frac{1}{x}$ es elemental.

Que bastante responde a su pregunta, ¿verdad?