Preguntas relativas a la más pequeña fracción entre dos fracciones.

Question

Recientemente he encontrado esto en un examen de práctica

Encontrar el menor entero positivo $n$ tal que existe un entero $m$ satisfacción $0.33 < \frac{m}{n} < \frac{1}{3}$

Mi respuesta:

$$\begin{align}0.33 < \frac{m}{n} < \frac{1}{3}&\implies(\frac{33}{100} < \frac{m}{n})\land(\frac{m}{n}<\frac{1}{3}) \\ &\implies(33n<100m)\land(3m<n) \\\end{align}$$ and thus $n=3m+1$.

Por lo $$\begin{align}33n<100m&\implies33(3m+1)<100m \\ &\implies 99m+33<100m\\ &\implies m>33\end{align}$$ Tomando $m\geq34$, nos encontramos con que $n=34\times3+1=103$

Después de la prueba, tenía las siguientes reflexiones, que no sé cómo responder.

Preguntas

Será la solución para $n$ siempre ceder el más mínimo $m$ posible?

¿Este método (encontrar el mínimo valor de $n$ y suplente) de trabajo para todos estos problemas? (donde $m,n\in\mathbb{Z}$)

Podemos generalizar $n$ para todos los posibles fracción rangos, y si es así, se $n$ siempre ser de una determinada forma en comparación a$a,b,c,$$d$? (donde $\frac{a}{b}<\frac{m}{n}<\frac{c}{d}$).

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nota: lo siento por preguntar varias preguntas en un solo post (que sé que algunas personas mal) pero creo que la publicación de varias preguntas con el mismo 'introducción' (problema+prueba) sería el desorden y ser un poco engorroso.

Answer 1

Podemos generalizar $n$ para todos los posibles fracción rangos, y si es así, se $n$ siempre ser de una determinada forma en comparación a$a,b,c,$$d$? (donde $\frac{a}{b}<\frac{m}{n}<\frac{c}{d}$).

Esta respuesta utiliza su método.

En la siguiente, $a,b,c,d,m,n$ son enteros positivos.

$\frac ab\lt \frac mn\lt \frac cd$ es equivalente a $$na\lt mb\qquad\text{and}\qquad \frac{md}{c}\lt n$$

A partir de la segunda desigualdad, podemos establecer $n=\lfloor\frac{md}{c}\rfloor+1$ donde $\lfloor x\rfloor$ es el mayor entero menor o igual a $x$.

Así, desde la primera desigualdad, obtenemos $$\left(\left\lfloor\frac{md}{c}\right\rfloor+1\right)a\lt mb\tag1$$

Como resultado, podemos decir que el menor entero positivo $n$ tal que existe un entero $m$ satisfacción $\frac ab\lt\frac mn\lt\frac cd$ está dado por$$\left\lfloor\frac{Md}{c}\right\rfloor+1$$ donde $M$ es el entero más pequeño $m$ satisfacción $(1)$.

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Si $c=1$, el menor entero positivo $n$ tal que existe un entero $m$ satisfacción $\frac ab\lt\frac mn\lt\frac 1d$ está dado por$$\left(\left\lfloor\frac{a}{b-da}\right\rfloor+1\right)d+1$$

Answer 2

Sí a ambas preguntas. Esta es, esencialmente, el desarrollo de dos términos en una secuencia de Farey. Hay algunos en el fondo de la teoría de aquí. Leer sobre Farey secuencias para obtener más información.