Medio de Cancelación en Grupos

Question

Para a, b, c, d, x de los elementos de un grupo G. Si ab = cd, significa, que axb = cxd? Lo que si ab = cd sólo en este caso, ¿la igualdad todavía?

Answer 1

Esto sucede si y sólo si el grupo abelian:

$y \cdot y^{-1} = 1\cdot 1 \implies yxy^{-1} = x \implies yx = xy$

Answer 2

Supongo que eran iguales. Deje $y=axb=cxd$. Entonces $$axa^{-1}=yb^{-1}a^{-1}=y(ab)^{-1}=y(cd)^{-1}=yd^{-1}c^{-1}=cxc^{-1}.$ $ , Por tanto, \begin{align*} xa^{-1}c&=a^{-1}cx& \end{align*} por lo $a^{-1}c$ está en el centro de la $Z(G)$. Del mismo modo, $bd^{-1}$$Z(G)$.

Así que no es necesariamente cierto que $G$ es abelian (es decir, que $Z(G)=G$), pero no dicen algo acerca de lo que es en $Z(G)$.