Una integral que involucra una función suave

Question

Deje $f : [0,1] \to \mathbb [0,1]$ ser una función suave (clase $C^\infty$) que no es necesariamente real-analítica.

Deje $g : (-1, \infty) \to \mathbb R$ sea la función definida por $g(x) = \int_0^1 f(t) \, t^x dt$.

Es $g$ necesariamente un real-analítica de la función en $(-1, \infty)$?

Answer 1

Es más fácil hacerlo en el complejo.

Para demostrar que $g(z)$ es holomorphic en el abierto de medio plano de $D=\{z:\mathrm{Re}\,z>-1\}$, es suficiente para comprobar que $\oint_{\partial T} g(z)dz=0$ alrededor de cada triángulo $T$$D$.

Si $T\subset D$ es un triángulo, luego tome $m=\min\limits_{z\in T}\mathrm{Re}\,z>-1$. Entonces $$ \int_{t=0}^1 \oint_{z\in\partial T} |f(t)| |t^z| \, |dz|\,dt < \max|f| \cdot \int_{t=0}^1 \oint_{z\in\partial T} t^{m} \, |dz|\,dt < \frac{\max|f| \cdot longitud(\gamma)}{m+1} < \infty, $$ así que pueden intercambiar las integrales como $$ \oint_{\partial T} g(z)dz = \oint_{\partial T} \left(\int_{t=0}^1 f(t) t^z dt\right)dz = \int_{t=0}^1 f(t) \left(\oint_{\partial T} t^z dz\right)dt = \int_{t=0}^1 f(t) \cdot 0 \,dt = 0. $$

Answer 2

El cambio de las variables de $t=e^{-s}$ muestra que $g(x)=F(x+1)$ donde $F$ es la transformada de Laplace de $s\mapsto f(e^{-s})$, que en nuestro caso continua y acotada. Por lo $F$ es analítica en $\{z:\Re z>0\}$, y, en consecuencia, $g$ es real analítica en $(-1,+\infty)$.