En la sumatoria $\sum \limits_{n=1}^{\infty} \arctan \left ( \frac{1}{n^3+n^2+n+1} \right )$

Question

Aquí es un problema que me encontré. Tengo serias dudas de si hay una forma cerrada, pero nunca se sabe.

Evaluar la serie

$$\mathcal{S} = \sum_{n=1}^\infty \arctan \left ( \frac 1 {n^3+n^2+n+1} \right) $$

He buscado en vano a atacar usando telescópica de totalización, pero he fracasado miserablemente. Entonces me acordé de la siguiente técnica. Desde ${\rm Im} \log (1+ix) = \arctan x$ podemos expresar la suma de la siguiente manera

\begin{align*} \sum_{n=1}^\infty \arctan \left ( \frac{1}{n^3+n^2+n+1} \right ) &= \sum_{n=1}^\infty \arctan \left [ \frac{1}{(n+1)(n^2+1)} \right ] \\ &= \sum_{n=1}^\infty \operatorname{Im} \left [ \log \left ( 1 + \frac{i}{(n+1)(n^2+1)} \right ) \right ] \\ &= \operatorname{Im} \log \left [ \prod_{n=1}^\infty \left ( 1 + \frac{i}{(n+1)(n^2+1)} \right ) \right ] \end{align*}

Traté de combinar con el famoso producto de Euler

$$ \frac{\sin \pi z}{\pi z} = \prod_{n=1}^{\infty} \left( 1 - \frac{z^2}{n^2} \right) \tag{1} $$

pero veo que no hay conexión. Así que, ¿hay una manera posible de evaluar?

Answer 1

Tenemos $$S = \sum_{n=1}^{\infty}\arctan\left(\frac{1}{n^3 + n^2 + n + 1}\right) \\ = \Im\left(\ln\left(\prod_{n=1}^{\infty} \left(1 + \frac{i}{n^3+n^2+n+1}\right)\right)\right) \\ = \Im\left(\ln\left(\prod_{n=1}^{\infty} \frac{n^3+n^2+n+1+i}{n^3+n^2+n+1}\right)\right) \\ = \Im\left(\ln\left(\frac{\pi\operatorname{csch}(\pi)}{1+i}\prod_{k=1}^{3}\frac{1}{\Gamma(r_k)}\right)\right)$$ donde $r_k$ $k$th raíz de $x^3-x^2+x-1-i$ (el orden no importa, ya que el producto se itera sobre todos ellos). El último paso viene de empleo de la ecuación 19 aquí (que viene directamente de la factorización de Weierstrass fórmula del producto para $\Gamma(x)$), y el hecho de que $\Gamma(i)\Gamma(-i) = \pi\operatorname{csch}(\pi)$.

Answer 2

Algo me dice que esto podría ser difícil de hacer a mano. Enchufar su fórmula de producto en Mathematica y, a continuación, Simplifying, esto es lo que sale: