Mostrar que $E(|X-Y|^{3/2})\leq 2 E(|X|^{3/2})$ al $X$ $Y$ son yo.yo.d.

Question

Deje $X$ $Y$ ser yo.yo.d. variables aleatorias tales que $E(|X|^{3/2})$ es finito. Demostrar que $$E(|X-Y|^{3/2})\leq 2 E(|X|^{3/2})$$

Esto es de un pasado en el examen de calificación. Estoy realmente sorprendido por la pregunta. He intentado varias cosas con Jensen, condicional expectativas, ..., fue en vano.

Answer 1

Existe una constante $c>0$ tal que

$$|\xi|^{3/2} = c \int_{\mathbb{R} \backslash \{0\}} (1-\cos(u \xi)) \frac{1}{|u|^{5/2}} \, du \tag{1}$$

para todos los $\xi \in \mathbb{R}$. (Para demostrar esta identidad, comience con la integral en el lado derecho y realizar un cambio de variables, $z := u \xi$.) Por lo tanto,

$$\begin{align*} |X-Y|^{3/2} &= c \int_{u \neq 0} \big(1-\cos(u(X-Y) \big) \frac{1}{|u|^{5/2}} \, du \\ &= c \int_{u \neq 0} \big(1-\cos(uX) \cos(uY)-\sin(uX) \sin(uY) \big) \frac{1}{|u|^{5/2}} \, du. \end{align*}$$

Teniendo expectativa y con el hecho de que las variables aleatorias son independientes e idénticamente distribuidas, obtenemos

$$\begin{align*} \mathbb{E}(|X-Y|^{3/2}) &= c \int_{u \neq 0} (1-\big(\mathbb{E}\cos(uX))^2-(\mathbb{E}\sin(uX))^2 \big) \frac{1}{|u|^{5/2}} \, du. \end{align*}$$

Como

$$\big[ \mathbb{E}(1-\cos(uX))\big]^2+ \big[ \mathbb{E}\sin(uX)\big]^2 \geq 0$$

tenemos

$$-(\mathbb{E}\cos(uX))^2-(\mathbb{E}\sin(uX))^2 \leq 1-2 \mathbb{E}\cos(uX),$$

y así

$$\mathbb{E}(|X-Y|^{3/2}) \leq 2c \mathbb{E} \int_{u \neq 0} (1-\cos(uX)) \frac{1}{|u|^{5/2}} \, du \stackrel{(1)}{=} 2\mathbb{E}(|X|^{3/2}).$$