Número de hecho de los primeros dígitos de $2^n$

Question

Tener en cuenta el número c hechas a partir de los primeros dígitos de $2^n$. Para ser más precisos, la n-ésimo dígito decimal de c es el primer dígito de $2^n$. Los primeros dígitos de c son :

0.24813612512481361251248136125124813612512481371251249137125124913712512491371361 24913713612491371361

A primera vista, el número parece ser racional porque aparente patrones aparecen mostrando períodos. De hecho, la continuación de la fracción de c tiene muy grandes convergents. He calculado los primeros 20 000 dígitos de c con PARI y se encontró una convergente con increíble 5817 dígitos! Los términos que posteriormente son totalmente normales. Esto nos lleva a la conjetura de que c es trascendental. Tiene alguien una idea de cómo esto puede ser demostrado ?

Una situación similar se observa en champerov constante 0.12345678910111213... He leído en internet que este número también ha extrema convergents sin teniendo obvio períodos. ¿Alguien sabe por qué la gran convergents ocurrir ?

Answer 1

Esta no es una respuesta completa.

Una cosa que se puede decir es que este número no es normal, como $1$ aparece más a menudo que $2$, $2$ más a menudo que $3$, etc.

También, definitivamente no es racional, como la probabilidad de un dígito a ser igual a$1$$\log_{10} 2$, que es un número irracional.

También, se puede expresar como $$ \alpha=\sum_{n=1}^\infty \frac{\left\lfloor 10^{n\log_{10}2-\lfloor n\log_{10}2\rfloor}\right\rfloor}{10^n}. $$