Si $a+b+c = 6$ y $a$, $b$, $c$ son no negativos, a continuación, $a^2+b^2+c^2 \geq 12$

Question

Deje $a,b,c$ ser de tres números reales positivos tales que $a+b+c = 6$. Demostrar que $a^2+b^2+c^2 \geq 12$.

He intentado utilizar el AM-GM de la desigualdad para resolver el mismo, sin embargo yo no era capaz de hacer cualquier progreso considerable.

Answer 1

El Uso De Cauchy–Schwartz: $$a+b+c\ \leqslant\ \sqrt{1^2+1^2+1^2}\sqrt{a^2+b^2+c^2}$$

Answer 2

Una prueba geométrica:

La ecuación de $x+y+z=6$ describe un plano que intercepta 6 en los tres ejes. La ecuación de $x^2+y^2+z^2=12$ describe una esfera de radio $\sqrt{12}$ centrada en el origen $x=y=z=0$. La desigualdad de $x^2+y^2+z^2\ge12$ describe los puntos no en el interior de esta esfera.

Es fácil comprobar que no hay puntos del plano $x+y+z=6$ están en el interior de esta esfera. (Utilizar la distancia del punto al plano. El plano del punto más cercano al origen es $x=y=z=2$, este punto pertenece a la esfera pero no en el interior de la esfera. Todos los otros puntos del plano que están más lejos del origen.)

Pero eso es precisamente lo que se pide demostrar - si un punto está en el plano, no en el interior de la esfera.

Answer 3

Tenemos que demostrar que $$a^2+b^2+c^2\geq12\left(\frac{a+b+c}{6}\right)^2$$ o $$\sum\limits_{cyc}(a-b)^2\geq0.$$ Hecho!

Answer 4

Prueba:$$a^2+b^2\geq 2ab$$so:$$3(a^2+b^2+c^2)=a^2+b^2+c^2+2(a^2+b^2+c^2)\geq a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ac)=(a+b+c)^2=36$$Hecho!

Answer 5

Supongamos $a+b$ es fijo, a continuación,$$2(a^2+b^2)=(a+b)^2+(a-b)^2\ge (a+b)^2$$ with equality iff $ a=b$

Si cualquier par de $a,b,c$ son distintos, se puede reducir la suma de los cuadrados mediante la sustitución de ellos por su promedio. El valor mínimo es por lo tanto logra cuando todos los tres son iguales.

Tenga en cuenta que la condición de que $a,b,c$ son no negativos es redundante.

El más general de los métodos más elegantes, pero tal ascenso/descenso de los métodos puede ser útil para ver lo que está pasando, y a veces es útil para reducir el número de variables que se van a tratar.