Demostrar la desigualdad usando AM-GM de la desigualdad

Question

Dado que el $a,b,u,v \geq 0$ y $$a^5+b^5 \leq 1$$ $$u^5+v^5 \leq 1$$ Prove that $$a^2u^3+b^2v^3 \leq 1$$ Esto se ve como Titular de la desigualdad, pero me he encontrado con este problema en un libro justo después de la AM-GM de la sección. Así que me preguntaba si podría ser resuelto mediante la AM-GM (yo no era capaz de hacerlo, no sé por qué - soy incapaz de conseguir la plaza y el cúbicos plazo). Gracias.

Answer 1

Sugerencia: por AM-GM:

$$5a^2u^3\le a^5+a^5+u^5+u^5+u^5$$

$$5b^2v^3\le b^5+b^5+v^5+v^5+v^5$$

Añadir estos:

$$5a^2u^3+5b^2v^3\le 2(a^5+b^5)+3(u^5+v^5)$$

Ahora uso las condiciones dadas.

Answer 2

Probablemente el enfoque más sencillo es dada por los Jóvenes de la desigualdad con $p=\frac{5}{3},q=\frac{5}{2}$:

$$ a^2 u^3 \leq \frac{2}{5}a^5 + \frac{3}{5}u^5, \qquad b^2 v^3 \leq \frac{2}{5}b^5+\frac{3}{5}v^5$$ así que sumando las dos desigualdades de la reclamación $a^2 u^3 + b^2 v^3 \leq 1$ fácilmente de la siguiente manera.