¿Cómo puedo calcular mentalmente $cos(x), x∈(0.7, 1.2)$

Question

Estoy tratando de aprender a calcular funciones trigonométricas en mi cabeza. Estoy pensando en el aprendizaje de $\cos(x), x∈[0,π/2]$ y, a continuación, por medio de la simetría para calcular los demás.

Creo que la cuadrática de la serie de Maclaurin en $0$ y el lineal en $π/2$ se podría calcular en cuestión de segundos con un poco de práctica. Sin embargo, yo estoy luchando para encontrar algo que funcione para 2 D. P. en el intervalo de $(0.7, 1.2)$.

Mi mejor idea hasta el momento es el uso de $\color{green}{ 1.3-x/1.3}$, pero que no es ni rápido ni precisa para 2 D. P.

Gráfico de $\color{red}{\cos(x)},\ \ \color{blue}{1-x^2/2},\ \ \color{green}{1.3-x/1.3},\ \ \color{blue}{π/2-x}$:

Error:

¿Cómo puedo rápidamente aproximado de $\cos(x)$$x∈(0.7, 1.2)$? O es que hay una manera mejor de hacer esto?

Answer 1

He aquí una aproximación rápida. El segundo orden en series de Taylor alrededor de $x=\pi/3$ es $$T_2(x) = \frac12 - \frac{\sqrt3}2\left(x-\frac\pi3\right)-\frac14\left(x-\frac\pi3\right)^2.$$ Ahora, $\frac{\sqrt3}2 = 0.866... \approx \frac{13}{15}$, e $\frac\pi3 \approx 1.05$, por lo que tenemos $$T_2(x) \approx \frac12 - \frac{13}{15}(x-1.05) - \frac14(x-1.05)^2.$$ Verás que el error está dentro de $0.01$ en el rango deseado. El uso alternativo de $\frac{\sqrt3}2 \approx 0.85$ (que mantiene todas las constantes en múltiplos de $0.05$) también funciona.