Una prueba falsa para "la diferenciabilidad implica continuo derivado": revisión

Question

Se sabe que una función puede ser diferenciable en un punto, mientras que tener discontinuo derivada en dicho punto. El siguiente ejercicio se propone una prueba falsa la proposición de "vamos a $f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} $ estar en todas partes, continua y diferenciable, entonces $f'$ es continuo en el $\mathbb{R}$"; me piden encontrar el error(es).

Hemos de probar que, para cada $ a \in \mathbb{R}$, $\lim_{x \rightarrow} f'(x)=f'(a)$. Fijar un punto de $a \in \mathbb{R}$, para cada $x \in \mathbb{R}$ con $x>a$, $f$ es continua en a $[a,x]$ y diferenciable en a $(a,x)$, por lo tanto, por MVT existe un punto de $\xi \in (a,x)$ tal que: $$ \frac{f(x)-f(a)}{x-a} = f'(\xi) $$Now, the limit of the LHS when $x \rightarrow a$ exists (and equals $f'(a)$ since $f$ is differentiable at $x=a$), so does the limit of the RHS. Finally, notice that when $x \rightarrow a$, then $c \rightarrow un$, leading to: $$ f'(a)=\lim_{\xi \rightarrow a} f'(\xi). $$ Mi pensamiento es que el truco se encuentra en los mundos "al $x \rightarrow a$, luego $\xi \rightarrow a$": $\xi$ es de hecho una función de $x$ (aunque no explícitamente) $\xi=\xi(x)$, por lo que la afirmación anterior de alguna manera se requiere la continuidad de $\xi(x)$. Es que la idea correcta o hay algo más que yo no podía ver?

Answer 1

No, al $x\to a$, de hecho,$\xi(x)\to a$, ya que el $a<\xi(x)<x$. O, en otras palabras, $\xi(\bullet)$ es continua en a $a$.

Aquí es lo que usted está haciendo: se enfrenta el límite de $x\to a$ de dos funciones: una es $g(x)=\dfrac{f(x)-f(a)}{x-a}$, el otro es $f'\circ\xi$.

Su teorema concluyó con éxito el verdadero hecho de que estas dos funciones tienen el mismo límite y que $\lim_{x\to a} f(\xi(x))$ existe. Pero: puede llegar a la conclusión de que $\lim_{x\to a^+}f'(x)$ existe? La respuesta es no. Cuando se trata de con $f'\circ\xi$, calcular el límite de $f'$ sólo a lo largo de los puntos que puede ser escrito como $\xi(y)$ algunos $y$, pero que son completamente inconscientes de los puntos que no se en que forma. Como ustedes saben, no podría haber un intervalo de $I=(a,b)$ tal que $\xi(I)$ no contiene una secuencia $a_n\to a$. La secuencia correspondiente a $f'(a_n)$ podría (y a veces) no convergen, o converge a un límite de $L'\ne\lim_{x\to a^+} f'(\xi(x))$.