Lemma de Gronwall - Dependencia continua de los datos iniciales

Question

En el libro de texto para el siguiente problema se concluye que se puede demostrar que la solución del problema depende continuamente de los datos iniciales mediante el uso de Lemma de Gronwall. Sin embargo, no pude hacer uso de Lemma de Gronwall.

$$x'(t) + 2x(t) -y(t) = \sin{(y(t))}$$ $$y'(t)+y(t)-x(t) = \cos{(x(t))}$$ $$x(0) = x_0, \quad y(0) = y_0$$

Cualquier tipo de ayuda será muy útil.

edit: lema de Gronwall:

Supongamos que $u(t),v(t)$ son funcitones continuos no negativos sobre $[0,T),$ $c \geq 0$ y $$\mbox{}u(t)\leq c + {\int_{0}^t u(s)v(s)d(s)}$$

Entonces,

$$ \mbox{u}(t) \leq c * e^{\int_{0}^t v(s)d(s)} $$

$\forall t \in [0,T)$

Answer 1

Supongamos que escribimos la ecuación en forma matricial $$x' = Ax + f(x), x(0) = x_0$$ y lo mismo para $y.$ supongamos que $w = e^{-At}(x- y).$ entonces $w$ satisface $$w' = -Aw + e^{-At}(x'-y')=-Aw + e^{-At}(Aw-f(x) - f(y)) =f(y+w)-f(w),$$ y $$w' = f(y+w)-f(w), \quad w(0) = x_0-y_0 \tag 1$$ la representación integral de la solución de $(1)$ es $$w = w(0) + \int_0^te^{-As}\left(f(x+w) - f(x)\right) \, ds\tag 2$$ tomando la norma de $(2),$ tenemos $$|w| \le |w(0|+\int_0^t\|e^{-sA}\||f(x+w)-f(x)|\, ds$$

ahora tenemos que utilizar el hecho $$|f(x+w) - f(x) | = \left|\pmatrix{\sin (x_2+w_2)-\sin(x_2)\\\cos(x_1+w_1)-\cos(x_1)}\right|\le L|w|$$ y el lema de gronwalls para concluir $$|w| \le |w(0|e^{Lt} \to \|e^{-At}(x- y) \| \le |w(0|e^{Lt}\\ \implies |x-y| \le \|e^{-At}(x-y) \| \, \| e ^{At} \| \le e^{Lt}\, \| e ^{At} \| \, |x(0) - y(0)|$$

es decir $$ |x-y|\le e^{Lt}\, \| e ^{At} \| \, |x(0) - y(0)|$$ mostrando una dependencia continua de la condición inicial $x(0).$

Answer 2

Para empezar, algunas preocupaciones generales:

Supongamos que tenemos una ecuación diferencial ordinaria general, no lineal y autónoma

$\dot x = f(x), \tag{1}$

donde $f(x)$ se define en un dominio abierto y convexo $\Omega \subset \Bbb R^n$ . (Estas hipótesis sobre $\Omega$ quizá no sean las más generales posibles, pero tales $\Omega$ son más que suficientes para los fines que nos ocupan). Suponemos $f(x)$ posee una constante de Lipschitz $L$ en $\Omega$ es decir, para cualquier $x, y \in \Omega$ tenemos

$\Vert f(y) - f(x) \Vert \le L \Vert y - x \Vert; \tag{2}$

en tales circunstancias también decimos que $f(x)$ es continua de Lipschitz en $\Omega$ creo que está bastante claro que dicha función también es continua en el sentido ordinario; de hecho, si

$\Vert y - x \Vert < \delta, \tag{3}$

entonces

$\Vert f(y) - f(x) \Vert \le L \Vert y - x \Vert < L\delta; \tag{4}$ ,

si elegimos $\epsilon$ libremente y fijar

$\delta = \dfrac{\epsilon}{L}, \tag{5}$

entonces (4) se convierte en

$\Vert f(y) - f(x) \Vert \le \epsilon; \tag{6}$

de esta manera se ve que la continuidad ordinaria es una consecuencia de la continuidad más fuerte a la Lipschitz. Volveremos momentáneamente sobre estas nociones. . .

Volvemos del breve excursus anterior para retomar nuestra línea principal, la continuidad de las soluciones de (1) respecto a variaciones en los datos iniciales. De hecho, podemos utilizar la desigualdad de Gronwall para establecer dicha continuidad de la siguiente manera: de la forma habitual ponemos (1) en forma integral:

$x(t) - x(t_0) = \displaystyle \int_{t_0}^t \dot x(s)ds = \int_{t_0}^t f(x(s))ds, \tag{7}$

o

$x(t) = x(t_0) + \displaystyle \int_{t_0}^t f(x(s)) ds. \tag{8}$

Si ahora $y(t)$ es otra solución de (1) inicializada en $t = t _0$ también tenemos

$y(t) = y(t_0) + \displaystyle \int_{t_0}^t f(y(s)) ds; \tag{9}$

restando (9) de (8):

$x(t) - y(t) = (x(t_0) - y(t_0)) + \displaystyle \int_{t_0}^t (f(x(s)) - f(y(s)))ds; \tag{10}$

tomando normas:

$\Vert x(t) - y(t) \Vert = \left \Vert x(t_0) - y(t_0) + \displaystyle \int_{t_0}^t (f(x(s)) - f(y(s)))ds \right \Vert$ $\le \Vert x(t_0) - y(t_0) \Vert + \left \Vert \displaystyle \int_{t_0}^t (f(x(s)) - f(y(s)))ds \right \Vert$ $\le \Vert x(t_0) - y(t_0) \Vert + \displaystyle \int_{t_0}^t \Vert f(x(s)) - f(y(s)) \Vert ds; \tag{11}$

utilizamos la relación de Lipschitz (2) para eliminar la dependencia explícita de $f$ :

$\Vert x(t) - y(t) \Vert \le \Vert x(t_0) - y(t_0) \Vert + \displaystyle \int_{t_0}^t L \Vert x(s) - y(s) \Vert ds; \tag{12}$

(12) está en forma perfecta adecuada para la aplicación del lema de Gronwall; concluimos inmediatamente que

$\Vert x(t) - y(t) \Vert \le \Vert x(t_0) - y(t_0) \Vert \exp \left( \displaystyle \int_{t_0}^t Ls ds \right) = \Vert x(t_0) - y(t_0) \Vert e^{L(t - t_0)}. \tag{13}$

Algunas observaciones sobre (13): en primer lugar, vemos, tomando $t = t_0$ que (13) es coherente con los valores iniciales $x(t_0)$ , $y(t_0)$ de $x(t)$ , $y(t)$ respectivamente, se convierte en

$\Vert x(t_0) - y(t_0) \Vert \le \Vert x(t_0) - y(t_0) \Vert e^{L(t_0 - t_0)} = \Vert x(t_0) - y(t_0) \Vert; \tag{14}$

segundo, si $x(t_0) = y(t_0)$ encontramos

$\Vert x(t) - y(t) \Vert \le 0, \tag{15}$

de donde

$\Vert x(t) - y(t) \Vert = 0 \tag{16}$

para todos $t$ para lo cual $x(t)$ , $y(t)$ demostrando, desde otro punto de vista, que la continuidad de Lipschitz implica la unicidad de las soluciones; en tercer lugar, vemos en (13) que, eligiendo cualquier $\epsilon > 0$ y $T \ge t_0$ y ajuste $\delta = \epsilon e^{-L(T - t_0)}$ para $\Vert x(t_0) - y(t_0) \Vert < \delta$ tenemos, ya que $e^{L(t - t_0)}$ es monotónicamente creciente en $t$ ,

$\Vert x(t) - y(t) \Vert \le \Vert x(t_0) - y(t_0) \Vert \exp \left ( \displaystyle \int_{t_0}^t Ls ds \right ) = \Vert x(t_0) - y(t_0) \Vert e^{L(t - t_0)}$ $< \delta e^{L(T - t_0)} = \epsilon e^{-L(T - t_0)}e^{L(T - t_0)} = \epsilon, \tag{17}$

de manera uniforme en todo el intervalo $[t_0, T]$ por lo que el mapa $x(0) \mapsto x(t)$ enviando $x(0) \in \Omega$ a $x((t) \in C([t_0, T], \Omega)$ es continua en la topología de convergencia uniforme en $[t_0, T]$ esto establece efectivamente la continuidad con respecto a las condiciones iniciales en cualquier intervalo acotado.

En caso de que $f(x)$ tiene una derivada acotada $Df(x)$ en $\Omega$ siempre podemos tomar

$K = \sup_{x \in \Omega} \Vert Df(x) \Vert \tag{18}$

como constante de Lipschitz para $f(x)$ , a saber para $x, y \in \Omega$ que el camino $\gamma: [0, 1] \to \Omega$ se define por

$\gamma(t) = (1 - s)x + sy; \tag{19}$

tenga en cuenta que $\gamma(0) = x$ y $\gamma(1) = y$ ; también,

$\gamma'(t) = y - x, \tag{20}$

y tenemos, a partir de la versión vectorial del teorema fundamental del cálculo,

$\Vert f(y) - f(x) \Vert = \left \Vert \displaystyle \int_0^1 f'(\gamma(t)) dt \right \Vert = \left \Vert \displaystyle \int_0^1 Df(\gamma(t)) \gamma'(t) dt \right \Vert$ $\le \displaystyle \int_0^1 \Vert Df(\gamma(t)) \Vert \Vert \gamma'(t) \Vert dt = \int_0^1 \Vert Df(\gamma(t)) \Vert \Vert y - x \Vert dt$ $= \Vert y - x \Vert \displaystyle \int_0^1 \Vert Df(\gamma(t)) \Vert dt \le \Vert y - x \Vert \int_0^1 K dt = K \Vert y - x \Vert, \tag{21}$

que muestra que $f(x)$ es continua de Lipschitz en $\Omega$ con constante de Lipschitz $K = \sup_{x \in \Omega} \Vert Df \Vert$ como se afirma. Además, es evidente que cualquier $L \ge K$ servirá también como constante de Lipschitz para $f$ : $\Vert f(y) - f(x) \Vert \le K \Vert y - x \Vert \le L \Vert y - x \Vert$ vemos que si $Df(x)$ está limitada en $\Omega$ , $f(x)$ es Lipschitz conitnuo allí.

Apliquemos estas consideraciones al sistema dado

$x'(t) + 2x(t) -y(t) = \sin{(y(t))}, \tag{22}$

$y'(t)+y(t)-x(t) = \cos{(x(t))}, \tag{23}$

con

$x(0) = x_0, \quad y(0) = y_0; \tag{24}$

ajuste

$r(t) = \begin{pmatrix} x(t) \\ y(t) \end{pmatrix}, \tag{25}$

$B = \begin{bmatrix} -2 & 1 \\ 1 & -1 \end{bmatrix}, \tag{26}$

y

$b(r) = b(x, y) = \begin{pmatrix} \sin y \\ \cos x \end{pmatrix}, \tag{27}$

escribimos (22)-(23) como

$r' = Br + b(r) \tag{28}$

con

$r(0) = \begin{pmatrix} x_0 \\ y_0 \end{pmatrix}. \tag{29}$

La derivada de $Br + b(r)$ es

$D(Br + b(r)) = DB(r) + Db(r) = B + \begin{bmatrix} 0 & \cos y \\ -\sin x & 0 \end{bmatrix}$ $= \begin{bmatrix} -2 & 1 \\ 1 & -1 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 0 & \cos y \\ -\sin x & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -2 & 1 + \cos y \\ 1 - \sin x & -1 \end{bmatrix}. \tag{30}$

Es fácil calcular $\Vert D(Br + b(r)) \Vert$ vemos por (30) que

$\vert (D(Br + b(r)))_{ij} \vert \le 2 \tag{31}$

para $1 \le i, j \le 2$ así por Lema 2 de mi respuesta a esta pregunta tenemos

$\Vert D(Br + b(r)) \Vert \le 2^{3/2} \cdot 2 = 4\sqrt{2}; \tag{32}$

ya que (31) se cumple globalmente en todo $\Bbb R^2$ se deduce que $Br + b(r)$ es continua de Lipschitz en $\Bbb R^2$ de hecho, podemos tomar $C = 4\sqrt{2}$ como constante de Lischitz para $f(x)$ aunque, como hemos visto, puede haber una mejor (es decir, más pequeña). Pero la mera existencia de $C$ es suficiente para los fines que nos ocupan.

Desde $Br + b(r)$ es continua de Lipschitz, podemos aplicar directa e inmediatamente los resultados desarrollados anteriormente y concluir que, para cualquier $T \ge 0$ dos soluciones cualesquiera $r_1(t)$ , $r_2(t)$ de (21)-(22) satisfacen

$\Vert r_1(t) - r_2(t) \Vert \le \Vert r_1(0) - r_2(0) \Vert e^{Ct} \le \Vert r_1(0) - r_2(0) \Vert e^{CT}; \tag{33}$

para $t \in [0, T]$ ; así como hemos visto la continuidad de $r(t)$ con respecto a $r(0)$ se establece.