Múltiples lisos no conmutativos

Question

Connes definió un análogo no conmutativo de una variedad riemanniana orientada cerrada de espín^c utilizando triples espectrales.

Con su definición no está claro cómo separar la estructura lisa de la métrica.

¿Cómo podemos definir una variedad lisa no conmutativa sin las estructuras adicionales de Riemann y spin^c?

Se agradecerá cualquier referencia sobre este tema.

Answer 1

Creo que la respuesta más cercana está en la obra de Connes Sobre la caracterización espectral de las variedades . El teorema principal es que si un triple espectral (conmutativo) (A,H,D) satisface una lista de ciertas propiedades agradables, entonces A es el álgebra de las funciones suaves en una variedad suave orientada compacta. No estoy seguro de que esto separe realmente la estructura suave y los datos métricos, pero espero que la referencia siga siendo útil.

Answer 2

Me da un poco de reparo resucitar una pregunta tan antigua, pero dado que el contenido preciso del teorema de la reconstrucción no parece estar muy difundido, permítanme cross-post de math.SE y luego hacer algunos comentarios adicionales:

"Para ser absolutamente claro sobre el estado del arte, el teorema de Connes en realidad te dice lo siguiente:

• Un Frechet unital pre $C^\ast$ -Álgebra $A$ es isomorfo a $C^\infty(X)$ para $X$ un compacto orientable $p$ -si y sólo si existe un $\ast$ -representación de $A$ en un espacio de Hilbert $H$ y un operador autoadjunto no limitado $D$ en $H$ tal que $(A,H,D)$ es un triple espectral conmutativo de dimensión métrica $p$ .
• En particular, $A$ es isomorfo a $C^\infty(X)$ para $X$ un compacto girar $^{\mathbb{C}}$ $p$ -si y sólo si existe $H$ y $D$ tal que $(A,H,D)$ es un triple espectral conmutativo de dimensión métrica $p$ y $A^{\prime\prime}$ actúa sobre $H$ con multiplicidad $2^{\lfloor p/2\rfloor}$ .

"Una vez que sabes que $A \cong C^\infty(X)$ Entonces se puede aplicar el muy anterior "teorema de reconstrucción del bebé" (a falta de una frase mejor) anunciado por Connes y demostrado en detalle por Gracia-Bondia--Varilly--Figueroa para concluir que:

• En el caso general, $(A,H,D) \cong (C^\infty(X),L^2(X,E),D)$ donde $E \to X$ es un haz vectorial hermitiano y $D$ puede interpretarse como un operador diferencial de primer orden elíptico esencialmente autoadjunto en $E$ .
• En el caso de que $A^{\prime\prime}$ actúa con multiplicidad $2^{\lfloor p/2 \rfloor}$ , $E \to X$ es de hecho un haz de espinores (es decir, un haz de módulos de Clifford irreducible) y $D$ es de tipo Dirac (es decir, una perturbación de un espín $^{\mathbb{C}}$ operador de Dirac por un endomorfismo del haz simétrico de $E$ ).

"Así que, mientras que se puede refinar el teorema de la reconstrucción a una caracterización del espín compacto $^{\mathbb{C}}$ con un haz de espinores y un operador de tipo Dirac esencialmente autoadjunto, el resultado general es en realidad una afirmación sobre las variedades orientables compactas. De hecho, se puede incluso refinar el teorema de reconstrucción a una caracterización de las variedades riemannianas orientadas compactas con módulo de Clifford autoadjunto y operador de tipo Dirac esencialmente autoadjunto."

En cuanto a por qué necesitas algo más que un álgebra $A$ Esto es lo que entiendo de la situación:

1. Gel'fand--Naimark dice que un unital conmutativo $C^\ast$ -da un espacio Hausdorff compacto, ni más ni menos.
2. Siguiendo el ejemplo de $C^\infty(X) \subset C(X)$ se podría tratar de considerar el Frechet unital conmutativo pre $C^\ast$ -pero se pueden encontrar fácilmente ejemplos de tales álgebras que no son isomorfo a $C^\infty(X)$ para algunos $X$ . Por lo tanto, si se desea seguir esta línea de investigación, se necesitaría aún más estructura.

3. En cuanto al teorema de reconstrucción propiamente dicho (que tiende a ser tratado como una caja negra), la demostración de Connes (hasta donde yo puedo entender) realmente hace un uso absolutamente esencial de las tres partes del triple espectral $(A,H,D)$ :

   • el cierre de la norma de $A$ en $B(H)$ de Gel'fand--Naimark, nos da un espacio de Hausdorff compacto (canónico) $X$ ;
   • la integral no conmutativa definida por $D$ da una medida de Radon en $X$ ;
   • el ciclo de Hochschild de la condición de orientabilidad te da candidatos para los gráficos;
   • el operador $D$ entonces se utiliza para mostrar que realmente tienes un atlas suave.

   Esto no sugiere, por supuesto, que un triple espectral sea la noción óptima de álgebra + datos extra en cuanto a la variedad no conmutativa, pero sí sugiere que podría ser una definición razonablemente económica. En particular, sugiere que el verdadero rompecabezas del formalismo del triple espectral no son los datos riemannianos adicionales, sino la necesidad aparentemente absoluta de la orientabilidad.

Pido disculpas por lo extenso que ha sido.

Answer 3

La noción correcta es la de "subálgebra lisa" de un álgebra C*.

Véase, por ejemplo, el siguiente documento, página 27:

Geometría espectral no conmutativa de foliaciones riemannianas: algunos resultados y problemas abiertos

http://front.math.ucdavis.edu/0601.5093