La cuadratura es un proceso -cualquier proceso- de convertir algo en un "cuadrado". "Quadro" en latín es "hacer cuadrado", "quadrus" es un "cuadrado". Viene de "quattors", cuatro, porque ese es el número de vértices de un cuadrado.
Así que la integración de una función también se conoce como "cuadratura" porque estamos calculando el área, es decir, buscando un área conocida (cuadrado) cuya área sea la misma. Estamos convirtiendo el área en un cuadrado; por tanto, lo que estamos haciendo es "cuadratura". Alternativamente, la integración numérica basada en la integral de Riemann está realmente dividiendo el área en rectángulos finos y los rectángulos siguen siendo lo suficientemente buenos para la palabra "cuadratura".
En matemáticas recreativas, la "cuadratura" sin adjetivos (o "cuadratura de un disco" o "cuadratura del círculo") es la tarea inventada por los antiguos geómetras de construir un cuadrado con la misma área que el disco dado. Se puede demostrar -y se ha demostrado desde finales del siglo XIX- que esta tarea no puede resolverse exactamente con las herramientas geométricas habituales.
Del mismo modo, los operadores $x$ y $p$ se llaman operadores de cuadratura (para el oscilador armónico o cualquier generalización) porque nos permiten escribir el hamiltoniano $H$ como una función cuadrática (de estos operadores de cuadratura). Estamos convirtiendo el Hamiltoniano en un cuadrado $a^\dagger a$ (o una suma de cuadrados $x^2+p^2$ ), por lo que volvemos a hacer cuadratura. De ahí viene el nombre.
Para estar seguros, funciones como $y=x^2$ se denominan "cuadráticas", lo que también está relacionado con el cuadrado porque "son" el cuadrado - o, más cuidadosamente, son fórmulas para calcular el área de un cuadrado.
En algunas disciplinas, como la óptica cuántica, este nombre es más popular que otros, pero todo científico debería ser capaz de entender la palabra.
