Esta pregunta se pide por una discusión reciente sobre la relación entre la esperanza condicional y la covarianza.
Supongamos que $X$ $Y$ cero significa la unidad y la varianza de las variables aleatorias con la covarianza (y el coeficiente de correlación) $\rho$. El
mínimo-mean-square error (MMSE) estimador de $Y$ $X$ es
la variable aleatoria $g(X)$ que minimiza $E[(Y-g(X))^2]$, y como es
bien conocido, $$g(X) = E[Y \mid X] ~\text{minimizes}~E[(Y-g(X))^2]$$
También es bien conocido que
$E[g(X)] = E[E[Y\mid X]] = E[Y] = 0$. En general,
$g(X)$ es una función no lineal.
Por otro lado, si el perito se limita a ser
de la forma $\hat{Y} = aX + b$ donde $a$ $b$ son números reales,
a continuación, el lineal estimador MMSE de $Y$ $X$ es
$\hat{Y} = \rho X$, es decir,
$$a = \rho, ~ b = 0, ~\text{minimizes}~E[(Y-aX-b)^2].$$
El lineal estimador MMSE $\rho X$ tiene una media de cuadrados de error
$E[(Y-\rho X)^2] = 1 - \rho^2$ , por lo que la media de cuadrados del error
del estimador MMSE $g(X)$ puede ser mayor:
$$E[(Y-g(X))^2] \leq 1 - \rho^2.$$
Una versión simplificada de la cuestión en la discusión anterior es: si $g(\cdot)$ es una disminución de en función de su argumento, muestran que $\rho$ es valor no positivo.
Mi pregunta es: ¿cuál es la lineal estimación MMSE de $g(X) = E[Y \mid X]$ dado $X$? Es decir, lo que la elección de los números reales $c$ $d$ minimiza $E[(g(X) - cX - d)^2]$? Desde $g(X)$ $X$ ambos tienen cero significa y $X$ tiene unidad de varianza, estándar linear estimador MMSE teoría da que $d = 0$ y $$c = \frac{\text{cov}(g(X),X)}{\text{var}(X)} = \text{cov}(g(X),X) = E[Xg(X)]$$ que creo que podría funcionar a ser $\rho$, pero no estoy seguro acerca de esto. Alguna sugerencia sobre cómo proceder en el futuro sería apreciada.
