Cruz-relación de las relaciones

Question

La forma en que se define la cruz de relación en projectve geometría:

Deje $P_0,P_1,P_2,P_3$ cuatro puntos en un proyectiva de la línea de G, tal que $P_0,P_1,P_2$ son parejas distintas. Deje $\pi:\mathbb KP^1\rightarrow G$ el único proyectiva mapa de $\pi([1:0])=P_0,\pi([0:1])=P_1, \pi([1:1])=P_2, \pi([x_0:x_1])=P_3$

La cruz-relación de $CR(P_0,P_1,P_2,P_3):=\frac{x_1}{x_0}$

Pregunta: ¿hay una manera rápida de mostrar las relaciones $CR(P_1,P_0,P_2,P_3)=\frac{1}{CR(P_0,P_1,P_2,P_3)}=CR(P_0,P_1,P_3,P_2)$

y $CR(P_2,P_1,P_0,P_3)=1-CR(P_0,P_1,P_2,P_3)=CR(P_0,P_3,P_2,P_1)$

Answer 1

Diferente pero equivalente definición

Prefiero usar esta definición más general:

$$ CR(P_0,P_1;P_2,P_3) := \frac{[P_0,P_2][P_1,P_3]}{[P_0,P_3][P_1,P_2]} $$

Los corchetes en el lado derecho denotar $2\times2$ determinatnts. Esto es equivalente a su definición: se puede mostrar fácilmente que si se $\pi$ a ser la identidad de la transformación, entonces el resultado calculado será el mismo.

$$ CR(P_0,P_1;P_2,P_3) = \frac {\begin{vmatrix}1&1\\0&1\end{vmatrix}\cdot \begin{vmatrix}0&x_0\\1&x_1\end{vmatrix}} {\begin{vmatrix}1&x_0\\0&x_1\end{vmatrix}\cdot \begin{vmatrix}0&1\\1&1\end{vmatrix}} = \frac{x_0}{x_1} $$

Por otra parte, la definición anterior es invarinat en virtud de una transformación proyectiva, como el determinante de su matriz de cancelar.

$$ CR(\pi P_0,\pi P_1;\pi P_2,\pi P_3) = \frac{[\pi P_0,\pi P_2][\pi P_1,\pi P_3]}{[\pi P_0,\pi P_3][\pi P_1,\pi P_2]} = \frac{\det(\pi)^2[P_0,P_2][P_1,P_3]}{\det(\pi)^2[P_0,P_3][P_1,P_2]} $$

Así que ahora espero que usted está convencido de que las dos definiciones son equivalentes.

Efecto de las permutaciones

Utilizando la definición anterior, puede simplemente enchufe en el especial de las coordenadas de los cuatro puntos, pero en un orden arbitrario, y calcular el valor resultante.

Por ejemplo, el caso de intercambio de $P_0$$P_2$:

$$ (P_2,P_1;P_0,P_3) = \frac {\begin{vmatrix}1&1\\1&0\end{vmatrix}\cdot \begin{vmatrix}0&x_0\\1&x_1\end{vmatrix}} {\begin{vmatrix}1&x_0\\1&x_1\end{vmatrix}\cdot \begin{vmatrix}0&1\\1&0\end{vmatrix}} = \frac{x_0}{x_0-x_1} \neq 1-\frac{x_0}{x_1} = 1-(P_0,P_1;P_2,P_3) $$

Así que una de las ecuaciones que quería mostrar no puede ser demostrado, ya que está mal.

Todas las permutaciones

Aquí está una lista completa de todas las permutaciones de los cuatro puntos, y la cruz cocientes resultantes de cada uno de ellos.

\begin{align*} (P_0,P_1;P_2,P_3)=(P_1,P_0;P_3,P_2)=(P_3,P_2;P_1,P_0)=(P_2,P_3;P_0,P_1) &=\lambda\\ (P_0,P_1;P_3,P_2)=(P_1,P_0;P_2,P_3)=(P_2,P_3;P_1,P_0)=(P_3,P_2;P_0,P_1) &=\tfrac1\lambda\\ (P_0,P_2;P_1,P_3)=(P_2,P_0;P_3,P_1)=(P_3,P_1;P_2,P_0)=(P_1,P_3;P_0,P_2) &=1-\lambda\\ (P_0,P_2;P_3,P_1)=(P_2,P_0;P_1,P_3)=(P_1,P_3;P_2,P_0)=(P_3,P_1;P_0,P_2) &=\tfrac{1}{1-\lambda}\\ (P_0,P_3;P_1,P_2)=(P_3,P_0;P_2,P_1)=(P_2,P_1;P_3,P_0)=(P_1,P_2;P_0,P_3) &=1-\tfrac1\lambda\\ (P_0,P_3;P_2,P_1)=(P_3,P_0;P_1,P_2)=(P_1,P_2;P_3,P_0)=(P_2,P_1;P_0,P_3) &=\tfrac{\lambda}{\lambda-1} \end{align*}