¿De dónde provienen los términos de polarización de masas en el Hamiltoniano de muchos cuerpos? ¿Por qué a veces se omiten?

Question

Esta pregunta es sobre el Hamiltoniano para más de una partícula (no relativista).

Griffiths (Introducción a la Mecánica Cuántica, 2e) parece implicar que es $ \displaystyle H=- \frac { \hbar ^2}{2} \left ( \sum_ {n=1}^N \frac {1}{m_n} \nabla_ { \mathbf {r}_n}^2 \right )+V( \mathbf {r}_1, \dots , \mathbf {r}_N,t)$ pero la wikipedia no es tan clara: https://en.wikipedia.org/wiki/Hamiltonian_%28quantum_mechanics%29#Many_particles .

Inicialmente el artículo cita esa fórmula, pero rápidamente se confunde:

Sin embargo, pueden surgir complicaciones en el problema de los muchos cuerpos. Dado que la energía potencial depende de la disposición espacial de las partículas, la energía cinética también dependerá de la configuración espacial para conservar la energía. El movimiento debido a cualquier partícula variará debido al movimiento de todas las demás partículas del sistema. Por esta razón, en el Hamiltoniano pueden aparecer términos cruzados para la energía cinética; una mezcla de los gradientes para dos partículas:
$- \frac { \hbar ^2}{2M} \nabla_i\cdot\nabla_j $
donde M denota la masa de la colección de partículas que resulta en esta energía cinética extra. Los términos de esta forma se conocen como términos de polarización de masa y aparecen en el Hamiltoniano de muchos átomos de electrones (ver abajo).

Desafortunadamente, el autor no escribió nada más abajo que pueda explicar de dónde vienen los términos de la polarización de masas.
¿Podría obtener algunos antecedentes matemáticos, tal vez una derivación, de por qué estos términos están presentes en el Hamiltoniano, y por qué a veces se omiten/olvidan?

Answer 1

Nunca he oído hablar de esto antes y parece bastante extraño, pero voy a tener una conjetura que parece la única cosa razonable que podría estar pasando. La energía cinética de una partícula definitivamente no depende (fundamentalmente) de lo que hace otra partícula. Sólo depende indirectamente de las otras partículas a través de interacciones (es decir, potenciales o campos gauge). El autor debe tener en mente algún tipo de aproximación tipo Born-Oppenheimer, en la que un subconjunto de interacciones se cuida o se fija de antemano, dejando correlaciones entre los restantes grados de libertad. Así que aquí está mi suposición sobre lo que está sucediendo.

Si se tienen dos partículas de igual masa con momentos $\vec{p}_1,\vec{p}_2$ entonces la energía total es

$$ H = \frac{\vec{p}_1^2}{2m} + \frac{\vec{p}_2^2}{2m} + V(\vec{r}_1,\vec{r}_2).$$

Ahora introduzca el total $\vec{P}=\vec{p}_1+\vec{p}_2$ y el impulso relativo $\vec{p}=(\vec{p}_1-\vec{p}_2)/2$ entonces el Hamiltoniano se convierte en

$$ H = \frac{\vec{P}^2}{2M} + \frac{\vec{p}^2}{2\mu} + V(\vec{r}_1,\vec{r}_2),$$

donde $M=2m$ es la masa total y $\mu=m/2$ la masa reducida. Ahora bien, si se desprecia el momento relativo porque las dos partículas están rígidamente unidas y se mueven siempre juntas, entonces se obtiene

$$ H \approx \frac{\vec{P}^2}{2M} + V(\vec{r}_1,\vec{r}_2). $$

Finalmente sustituyendo de nuevo se obtiene un término cruzado $\propto \vec{p}_1\cdot\vec{p}_2$ del tipo mencionado en el artículo, y la masa $M$ se refiere efectivamente a la masa de un conglomerado de varias partículas. También se puede hacer esto si el potencial es tal que se pueden separar los problemas del centro de masa y del movimiento relativo y resolver el problema del movimiento relativo por sí solo. Y esta idea debería extenderse directamente al $N$ caso de partículas. Se lo dejo a usted.

Answer 2

El término de polarización de la masa, surge cuando consideramos también el movimiento del núcleo (o en otras palabras, le damos una cantidad finita de masa). La energía cinética de un átomo con un núcleo de masa $M$ y cobrar $Ze$ y $N$ electrones de masa $m$ y cobrar $-e$ se puede escribir como:

$$T=-\frac{\hbar^2}{2M}\nabla_{R_0}^2+\sum_{i=1}^N \left(-\frac{\hbar^2}{2m}\nabla_{R_i}^2\right) $$ donde hemos denotado las coordenadas del núcleo con $R_0$ y los electrones con $R_i$ .

Ahora, pasando al marco del centro de masa; definimos nuevas coordenadas $(\vec R,\vec r_1,\vec r_2,\dots,\vec r_N)$ , donde:

$$\vec R=\frac{1}{M+Nm}(M\vec{R_0}+m\vec{R_1}+\dots+m\vec {R_N})$$ es el centro de masa, y $$\vec{r_i}=\vec{R_i}-\vec{R_0}$$ son las coordenadas relativas. A partir de las dos ecuaciones anteriores, se puede comprobar fácilmente que: $$\nabla_{R_0}=\frac M{M+Nm}\nabla_R-\sum_{i=1}^N \nabla_{r_i}$$ $$\nabla_{R_i}= \frac{m}{M+Nm}\nabla_R+\nabla_{r_i} $$ Por lo tanto, tendremos: $$\nabla_{R_0}^2=\left(\frac{M}{M+Nm}\right)^2\nabla_R^2-\frac{2M}{M+Nm}\sum_{i=1}^N \nabla_R . \nabla_{r_i}+\left(\sum_{i=0}^N\nabla_{r_i}\right)^2$$ $$\nabla_{R_i}^2=\left(\frac{m}{M+Nm}\right)^2\nabla_R^2+\frac{2m}{M+Nm} \nabla_R . \nabla_{r_i}+\nabla_{r_i}^2$$

Ahora, sustituyendo esto en la ecuación inicial obtenemos \begin{align} T=&-\frac{\hbar^2}{2M}\left(\left(\frac{M}{M+Nm}\right)^2\nabla_R^2-\frac{2M}{M+Nm}\sum_{i=1}^N \nabla_R \cdot \nabla_{r_i}+ \left(\sum_{i=0}^N\nabla_{r_i}\right)^2\right)+\\ &\quad\sum_{i=1}^N\left(-\frac{\hbar^2}{2m}\left(\left(\frac{m}{M+Nm}\right)^2\nabla_R^2+\frac{2m}{M+Nm} \nabla_R . \nabla_{r_i}+\nabla_{r_i}^2\right)\right)\\ =&-\frac{\hbar^2}{2(M+Nm)^2}(M+Nm)\nabla_R^2-\frac{\hbar^2}{2M}\sum_{i,j=1}^n\nabla_{r_i}\cdot\nabla_{r_j}-\frac{\hbar^2}{2m}\sum_{i=1}^n\nabla_{r_i}^2\\ =& -\frac{\hbar^2}{2(M_{tot})}\nabla_R^2-\frac{\hbar^2}{2m}\sum_{i=1}^n\nabla_{r_i}^2 -\frac{\hbar^2}{2M}\sum_{i,j=1}^n\nabla_{r_i}\cdot\nabla_{r_j} \end{align} donde el último es el término de polarización de la masa.