Es además en $\mathbb{R}$ único hasta automorphism?

Question

Considerar el conjunto de los números reales $\mathbb{R}$, el cual sabemos que es el único ordenado de campo hasta el isomorfismo.

Si fijamos los siguientes axiomas para la 'operación'$\bot:\mathbb{R}^2\to \mathbb{R}$:

1. La asociatividad
2. Conmutatividad
3. Elemento de identidad 0 (no es que existe alguna 0 elemento, pero que el elemento de identidad es en realidad el canónica 0).
4. Todos los elementos tienen su propia inversa

[esto define un grupo abelian sobre el conjunto de $\mathbb{R}$ con identidad 0]

y, finalmente,

5. $\bot$ es distributiva sobre la multiplicación: $\forall a,b,\lambda\in \mathbb{R}, $ $\lambda\cdot (a\bot b)=(\lambda \cdot a) \bot (\lambda \cdot b).$

Hacer estos axiomas únicamente determinan, además de en $\mathbb{R}$ hasta automorphism?

El ejemplo de $a\bot b := (a^3+b^3)^{1/3}$ muestra que estos axiomas no únicamente determinan la adición. Sin embargo, la automorphism $f(x)=x^3$ hace que esta operación todavía de manera efectiva la misma suma. La pregunta es si todas las operaciones $\bot$ a que se adhieran a estos axiomas tienen un automorphism con la adición.

Y como una cuestión secundaria, si resulta que lo hacen:

Es el quinto axioma es necesario, o es la única abelian grupo con identidad 0 en los números reales (hasta automorphism)?

EDIT: La segunda parte ha sido contestadas, y la respuesta es sí, es necesario.

Answer 1

Sus axiomas no, además de determinar de forma única. Tenga en cuenta que $K$ es cualquier campo y $f:\mathbb{R}^\times\to K^\times$ es un isomorfismo de la multiplicación de los grupos, y después de la operación $(x,y)\mapsto f^{-1}(f(x)+f(y))$ (y $(x,0)\mapsto x$, $(0,y)\mapsto y$) va a satisfacer sus axiomas, y sólo será equivalente a la ordinaria, además de en su sentido si $K$ es isomorfo a $\mathbb{R}$ como un campo.

Ahora tenga en cuenta que el grupo abelian $\mathbb{R}^\times$ no es demasiado difícil de entender. Es la suma directa de subgrupos $\{\pm1\}$$\mathbb{R}_+$, e $\mathbb{R}_+$ es un espacio vectorial sobre $\mathbb{Q}$ ya que cada número real positivo tiene una $n$th raíz de cualquier $n$. Más en general, el mismo tiene descripción para $K^\times$ si $K$ es cualquier ordenó campo en el que cada elemento positivo que tiene un $n$th raíz de cualquier $n$. Desde hace dos $\mathbb{Q}$-espacios vectoriales de la misma incontables cardinalidad son isomorfos, se sigue que, si $K$ es cualquier ordenó campo de la misma cardinalidad como $\mathbb{R}$, en la que cada elemento positivo que tiene un $n$th raíz de cualquier $n$,$K^\times\cong\mathbb{R}^\times$.

Sin embargo, un campo no necesita ser isomorfo a $\mathbb{R}$, y por lo tanto puede dar lugar a un diferente", además de" a $\mathbb{R}$ la satisfacción de sus axiomas. Por ejemplo, usted podría tomar $K$ a ser que no-arquímedes real-campo cerrado de cardinalidad $2^{\aleph_0}$ (por ejemplo, el real cierre de $\mathbb{R}(x)$ donde $x$ es infinitamente grande).