Estoy tratando de hacer esta pregunta y le agradezco si alguien le da a comentar en mi intento. Estoy seguro de que hay errores en algún lugar, así que voy a estar contento si alguien me los señala:
Deje $A$ ser un director ideal de dominio con infinidad de máxima ideales. Mostrar que cualquier subconjunto de a $\mbox{Spec} A$ que consta de un número infinito de puntos cercanos es irreducible, pero no contiene un punto genérico.
Intento
Supongamos que tenemos $S$ tal conjunto. Este conjunto es irreducible en a $\mbox{Spec} A$ si y sólo si su cierre $\overline{S}$ es irreductible.
Así que voy a trabajar con $\overline{S}$. Lo siguiente que afirman que $\overline{S}=\mbox{Spec}A$. Ya está cerrada, y $A$ es el PID, por lo $\overline{S}=V(f)$ algún elemento $f\in A$. Supongamos $f\neq 0$. Desde $A$ es también UFD, por lo que sólo puede haber un número finito de máximos ideales pertenecientes a $V(f)$. [Aquí, yo uso el resultado de que un punto de $\{\frak{p}\}$ $\mbox{Spec}A$ es cerrado si y sólo si $\frak{p}$ es máxima ideales, y puesto que es el PID, cada primer ideales son máximos ideales de todos modos.] Por lo tanto $\overline{S}=\mbox{Spec}A$. Ahora $\mbox{Spec}A$ es irreductible, porque si tenemos $\mbox{Spec}A\subseteq V(f)\cup V(g)$ para algunos $f\in A$, $g\in A$, a continuación, $\mbox{Spec}A$ sólo puede tener un número finito de puntos cercanos debido a $A$ es el PID (y por lo tanto UFD), lo que contradice que $A$ tiene infinidad de máxima ideales.
Por lo tanto $\overline{S}$ es irreductible, y así es $S$.
Para la segunda parte, supongo que es porque si hay un genérico de punto de $\{\frak{p}\}$$S$, $\{\frak{p}\}$ está cerrada en $S$, por lo que no puede ser genérico debido a $S$ tiene una infinidad de puntos cercanos.
De hecho, lo que he intentado para la segunda parte era que $S$ es irreductible y cerrado, por lo que tiene un punto genérico, $\{\frak{p}\}$. Por lo $S\subseteq \{\frak{p}\}$ lo cual es absurdo. Pero esto sólo significa que de $\overline{S}$ no tiene genéricos puntos, sin embargo, una irreductible conjunto cerrado tiene un punto genérico.
La confusión
Estoy un poco confundido porque aquí eso no significa que a partir de mi argumento, $\mbox{Spec}A$ no tiene un punto genérico?? Pero un cerrado irreducible subespacio tiene un punto genérico. Donde he ido mal?
Gracias por señalar mis errores!
