Demostrar que $\exists\,! \,\lambda \in (1/5,1/4)$ tal que $\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}e^{\sin x}\,\mathrm{d}x=e^{\lambda}$

Question

La siguiente pregunta, surgió en el chat

Demostrar que $\exists\,! \,\lambda \in (1/5,1/4)$ tal que $\displaystyle\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}e^{\sin x}\,\mathrm{d}x=e^{\lambda}$

Ahora la integral se puede escribir como

$$ \frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}e^{\sin x}\,\mathrm{d}x = \int_0^{1}e^{\pecado 2\pi x}\,\mathrm{d}x = \sum_{k\geq 0} \int_0^{1} \frac{\sin^k(2\pi x)}{k!} \,\mathrm{d}x = \sum_{k\geq 0} \frac{1}{4^k(k!)^2} $$

Que es el mismo que $J_0(1)$ donde $J$ es la función de bessel de primera especie. Ahora también se puede reescribir el problema mediante el uso de $e^x = \sum_{k=0} x^k/k!$. Así

\begin{array}{ccc} e^{1/5} & < & \int_0^{1}e^{\sin 2\pi x}\,\mathrm{d}x & < & e^{1/4}\\ \sum_{k\geq0} \frac{1}{5^k k!} & < & \sum_{k\geq 0} \frac{1}{4^k(k!)^2} & < & \sum_{k\geq0} \frac{1}{4^k k!} \end{array}

Por desgracia, el último sumas parece tan difícil de probar que la integral de la forma. Cualquier ayuda o sugerencia se agradece.

Answer 1

Decepción por delante:

$$\sum_{k=0}^\infty \frac{1}{4^k(k!)^2} < \sum_{k=0}^\infty \frac{1}{4^k\,k!}$$

sigue desde $4^k(k!)^2 \geqslant 4^k\, k!$ todos los $k$ y la desigualdad es estricta para $k\geqslant 2$.

Para la desigualdad

$$\sum_{k=0}^\infty \frac{1}{5^k\,k!} < \sum_{k=0}^\infty \frac{1}{4^k(k!)^2},$$

tomamos nota de que los términos de $k = 0$ son iguales en ambas series, por lo que es suficiente para ver

$$\sum_{k=2}^\infty \frac{1}{k!}\left(\frac{1}{5^k} - \frac{1}{4^k\,k!}\right) \leqslant \sum_{k=2}^\infty \frac{1}{5^k\,k!} \leqslant \frac{1}{50}\sum_{\nu=0}^\infty \frac{1}{15^\nu} = \frac{15}{14\cdot 50} = \frac{3}{140} < \frac{1}{20} = \frac{1}{4^1(1!)^2} - \frac{1}{5^1\,1!}.$$