Cómo hacer esto sin el conocimiento de los grupos cíclicos?

Question

Hice el siguiente ejercicio:

Supongamos $n$ es incluso un entero positivo y $H$ es un subgrupo de $\mathbb{Z}_n$ (enteros mod n con la adición). Demostrar que todos los miembros de $H$ o, incluso, exactamente la mitad de los miembros de $H$ son incluso.

Mi respuesta:

Desde $\mathbb{Z}_n$ es cíclico, así que es $H$. Si $k$ genera $H$ al $k$ es incluso entonces cada elemento de a $H$ es incluso. Si $k$ es impar entonces exactamente cada elemento es incluso lo que demuestra la demanda.

Suponiendo que mi prueba es correcta me preguntaba ¿de qué otra manera para hacer esto. El ejercicio aparece antes de que el capítulo acerca de la cíclica grupos.

Cómo responder a esta pregunta sin utilizar ningún tipo de conocimiento de la grupos, generadores, etc.?

Answer 1

Supongamos que hay un elemento $x$ que no. Deje $A$ el conjunto de incluso los elementos en el subgrupo y definir $B=\{x+a:a\in A\}$. A continuación, cada elemento de a $B$ es impar. Demostrar que $A$ $B$ tienen el mismo número de elementos y el subgrupo es distinto de la unión de $A$$B$.

Answer 2

He aquí un esbozo de una alternativa alternativa de la prueba: considerar el mapa de $f: x\mapsto x+x$, $ran(f):=A$ el conjunto de incluso los elementos.

Para cada $a, b\in A$, $f^{-1}(a)$ tiene el mismo número de elementos como $f^{-1}(b)$.

Prueba de dibujo: Fix$c+c=a$$d+d=b$, y considerar el mapa de $g: x\mapsto x+d-c$. No es difícil comprobar que $g$ es un bijection de $f^{-1}(a)$ a $f^{-1}(b)$. $\Box$

Deje $\xi$ el número de elementos en $f^{-1}(a)$$a\in A$.

$\xi=1$ o $\xi=2$.

Prueba de dibujo: Claramente, $\xi\ge 1$, por lo que sólo tiene que demostrar que $\xi\le 2$. Para ello, tenga en cuenta que para $0\le i<n$ tenemos $0\le 2i<2n$; por lo que si $a$ es incluso, a continuación, $i+i\equiv a$ implica $i+i=a$ o $i+i=n+a$. $\Box$

Si $\xi=1$, entonces cada elemento es aún.

Prueba: a Continuación, $x\mapsto x+x$ es inyectiva, por lo tanto bijective. $\Box$

Si $\xi=2$, exactamente la mitad de los elementos son.

Prueba: Considerar la equivalencia de la relación de $\approx$ $H$ $a\approx b$ si $a+a=b+b$. Desde $\xi=2$, $\approx$- clases todos tienen exactamente dos elementos, esto es, $\approx$ particiones $H$ en pares. El número de pares es $\vert H\vert/2$, y cada par corresponde a un único elemento de $A$. $\Box$