¿Por qué se debe la división polinómica ser hecho antes de tomar el límite?

Question

Supongamos que desean evaluar la siguiente, $$\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \left( {{{{x^2} - 4} \over {x - 2}}} \right)$$ Si me acaba de sustituir a dos en $x$, que no se puede hacer porque la respuesta sería indefinido (división por cero).

Pero, si puedo completar la división de polinomios, que me gusta hacer porque estoy todos los pulgares, $$\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \left( {{{{x^2} - 4} \over {x - 2}}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \left( {x + 2} \right) = 4$$

Por favor, dime qué está pasando aquí?

Answer 1

El punto es que las funciones $$\frac{x^2-4}{x-2}\quad\hbox{and}\quad x+2$$ son iguales excepto en $x=2$, donde el segundo es definido y el primero no. Si usted mira de cerca en la definición de un límite de $x\to a$, usted verá que es cuidadosamente formuladas de tal manera que el valor de la función (si las hubiera) al $x=a$ es irrelevante. Por lo tanto, las dos funciones anteriores tienen el mismo límite de $x\to2$. Sin embargo, como usted ha señalado, que no acaba de sustituir a $x=2$ en la primera, ya que no está definido. Por otro lado, la segunda función está definida en $x=2$, y mejor aún, es continua en a $x=2$, porque es un polinomio. Por lo tanto, el uso de la definición de continuidad, $$\lim_{x\to2}(x+2)=2+2=4\ .$$ Y por último, como ya se ha señalado, $$\lim_{x\to2}\frac{x^2-4}{x-2}=\lim_{x\to2}(x+2)=4\ .$$

Este tipo de problema es superficialmente muy simple, pero como usted puede ver, hay mucho detrás de él si quiere entender completamente lo que está pasando.

Answer 2

No piense en ello como algebraicas simplificación. Pensar en el problema en primer lugar. La expresión original es una función discontinua por lo tanto no somos capaces de resolver. Así que tenemos que encontrar una expresión equivalente que no es discontinuo, que hacen que sea fácil para nosotros para resolver. Aquí simple operación algebraica nos da otra función que es equivalente en el rango que nos importa (entre 0 y 2) y es continua en 2, por lo que podemos resolver.

En otros casos puede que tenga que utilizar trigonométricas, logarítmicas, u otras operaciones para encontrar una expresión que puede ser resuelto.