¿Por qué son estos ejemplos llamativos?

Question

La pregunta es de un ejercicio en Gilbert Strang del Álgebra Lineal y sus Aplicaciones.

Los poderes $A^k$ enfoque de cero si todos los $|\lambda_i|<1$, y volar si alguna de las $|\lambda_i|>1$. Peter Lax da cuatro ejemplos sorprendentes en su libro de Álgebra Lineal. $$A = \left( \begin{array}{cc} 3& 2 \\ 1& 4 \\ \end{array} \right)\qquad B = \left( \begin{array}{cc} 3 & 2 \\ -5 & -3 \\ \end{array} \right)\qquad C = \left( \begin{array}{cc} 5& 7 \\ -3& -4 \\ \end{array} \right)\qquad D = \left( \begin{array}{cc} 5& 6.9 \\ -3& -4 \\ \end{array} \right)$$ $$\|A^{1024}\|>10^{700}\qquad B^{1024}=I\qquad C^{1024}=-C\qquad \|D^{1024}\|<10^{-78}$$ Encontrar los autovalores $\lambda=e^{i\theta}$ $B$ $C$ que $B^4=I$$C^3=-I$.

Aquí está mi pregunta:

¿Por qué son estos ejemplos tan especial? Es debido a que todos ellos contienen el número de "1024"? O ejemplos de este tipo son difíciles de construir?

Answer 1

No hay nada particularmente especial acerca de $1024$; sólo pasa a ser conveniente para calcular las matrices de a $2^n$ poderes, debido a que pueden repetidamente la plaza.

Lo que se supone ser sorprendente (por supuesto, esto es subjetivo) es que $A, B, C, D$ todos han pequeño, superficialmente similares entradas, pero después de suficiente iteración es muy diferente comportamiento cualitativo; por otra parte, si usted no sabe mucho de álgebra lineal, que serían difíciles de adivinar que las matrices que admitir que el comportamiento de solo mirarlos.

Ejemplos de $A, D$ no son difíciles de construir, en el sentido de que una matriz aleatoria que elija va a hacer una de esas dos cosas. Ejemplos de $B, C$ son más finas, pero no es difícil construir con la mano una vez que usted entienda cómo construir matrices con un determinado polinomio característico.

Answer 2

Los ejemplos de visualización de tres comportamientos diferentes:

1. 1. $\|A^k\|\to\infty$
   2. $B^k$ $C^k$ ciclo con períodos de $4$ $6$ respectivamente, siempre con la norma $1$
   3.$\|D^k\|\to0$

$1024$ es sólo un gran número que muestra estos comportamientos notablemente. Desde $1024=0\pmod{4}$$1024=4\pmod{6}$, lo $B^{1024}=I$$C^{1024}=-C$.

Peter Lax dijo que los ejemplos fueron "sorprendentes", no "especiales".