Se sabe que la unidad de la bola en $\mathcal{B}(H)$ donde $H$ es un espacio de Hilbert separable es compacto en la débil operador de la topología. Es la misma verdad, si en lugar de $H$ tenemos alguna de Banach separable espacio?
Respuesta
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Se tiene si y sólo si $X$ es reflexiva.
En primer lugar, la nota de la Equivalencia de reflexiva y débilmente compacto que $X$ es reflexiva iff $\newcommand{\ball}{\operatorname{ball}}\ball X$ es débilmente compacto.
Supongamos $X$ no es reflexiva, de modo que $\ball X$ no es débilmente compacto. Elegir un arbitrario $h \in X$$\|h\| = 1$. Por el de Hahn-Banach teorema existe $\ell \in X^*$$\|\ell\|=1$$\ell(h) = 1$. A continuación, defina $F : (B(X), \mathrm{WOT}) \to (X, \mathrm{wk})$$F(T) = Th$, lo que, por definición, de WOT, es continua. Para ver los mapas de $\ball B(X)$ a $\ball X$: dado $f \in \ball X$, definir $T_f$$T_f g = \ell(g) f$, por lo que el$\|T_f\| = \|\ell\| \|f\| \le 1$$T_f h = f$. Por lo $F$ mapas de $(\ball B(X), \mathrm{WOT})$ continuamente en un no-compacto.
Por el contrario, supongamos $X$ es reflexiva, de modo que $\ball X$ es débilmente compacto. Nos imitan la prueba del teorema de Alaoglu. Deje $K = (\ball X, \mathrm{wk})^{\ball X}$ con su producto de la topología, que es compacto por Tychonoff. Entonces es evidente que existe una inyección de $(\ball B(X), \mathrm{WOT})$ a $K$, que, por definición, de WOT es un homeomorphism en su imagen. Si mostramos $\ball B(X)$ es cerrado en $K$, lo vamos a hacer. Deje $T_\alpha$ ser un netos en $\ball B(X)$ y supongo que converge en $K$ (es decir, pointwise) para alguna función $T : \ball X \to \ball X$. Por la escala, ampliamos $T$ a una función $T : X \to X$. Es fácil comprobar que $T$ es lineal. A ver que $T$ es acotado, tenga en cuenta que si $f \in \ball X$ tenemos $T_\alpha f \to Tf$ débilmente. Ya que la Norma es levemente inferior semicontinuo llegamos $\|Tf\| \le \liminf \|T_\alpha f\| \le 1$. Así que, de hecho,$T \in \ball B(X)$, mostrando que el $\ball B(X)$ es cerrado en $K$, por lo tanto WOT-compacto.
Para un hormigón contraejemplo, vamos a $X = C([0,1])$ y considerar la evaluación map $F : (B(X), \mathrm{WOT}) \to (X, \mathrm{wk})$ definido por $F(T) = T1$ donde $1 \in C([0,1])$ es la función constante 1. Es fácil comprobar la $F$ es continua (esto es, básicamente, la definición de WOT). Por otra parte, me dicen que tenemos $F(\ball B(X)) = \ball X$;$f \in \ball X$, definir $T \in B(X)$$Tg(x) = g(0) f(x)$. Claramente $\|T\| = \|f\| \le 1$$T1 = f$. Por lo tanto, si $\ball B(X)$ es WOT compacto, a continuación, $\ball X$ debe ser débilmente compacto.
En este caso podemos ver explícitamente que $\ball X$ no es débilmente compacto. Deje $f_n(x) = x^n$; puedo reclamar esta secuencia no tiene débil-* acumulación de punto. Desde $\{f_n\}$ converge pointwise y evaluación de puntos es una funcional lineal continua en $C([0,1])$, cualquier débil acumulación punto de $f_n$ debe ser igual a la pointwise límite. Pero el pointwise límite no es continua, así que no hay tal acumulación punto puede existir.
