Ruta integral con energía cero modos

Question

En el campo de la integral de la función de partición de un libre no-relativista del electrón en una materia condensada, por ejemplo,

$$ Z = ∫D\bar\psi D\psi \exp\left(-\sum_{k,ω} \bar\psi_{k,ω} (-iω + \frac{k^2}{2m} - \mu) \psi_{k,ω}\right) $$

donde la acción está escrito en la transformada de Fourier de la representación y $\mu$ denota el potencial químico. Ahora, esta integral es bien conocido por ser el determinante

$$ Z = \det\left(β\left(-iω+\frac{k^2}{2m} - \mu\right)\right) $$

que es igual al producto de todos los valores propios de la forma cuadrática entre paréntesis.

Pero he aquí mi problema:

Cómo calcular una ecuación cuadrática ruta integral si la forma cuadrática tiene unos valores propios que son iguales a cero?

Si el potencial químico $\mu$ es positivo, entonces todos los ímpetus con $\frac{k^2}{2m} = \mu$ (la superficie de Fermi) representará un autovalor igual a cero y obligaría a que el factor determinante para convertirse en cero.

Por supuesto, yo sólo podía caer el problema de autovalores de la determinante, y lo llaman un día, pero, por desgracia, me gustaría entender cuántica anomalías un poco mejor y

cero de energía modos propios son importantes para la comprensión de la axial anomalía cuántica

por ejemplo de la $1+1D$ Schwinger modelo. Fujikawa, el libro de cuántica anomalías sostiene que el axial anomalía viene de una asimetría de cero modos de Dirac operador, pero estoy muy confundido porque un cero modo de hacer el determinante de la Dirac operador y, por tanto, la ruta integral de desaparecer. Cómo hacer sentido de esto?

Answer 1

Quillen generalizado de la definición del determinante de una oparator a una forma aplicable a los operadores con cero modos, entre finito o infinito dimensional Hilbert espacios:

$D: \mathrm{H_1} \rightarrow \mathrm{H_2}$

De acuerdo a esta generalización, el factor determinante no es un C-número sino un elemento de una en una dimensión espacio vectorial :

$\mathrm{Det}(D) = (\wedge^{top}( \mathrm{H_1}/\mathrm{ker}(D)))^{\dagger} \wedge^{top}\mathrm{img}(D))$

Donde $\wedge^{top}$ denota la parte superior de la cuña de producto. Básicamente, esto significa que nosotros no incluyen el cero modos en el autovalor producto. Por ejemplo, considere la posibilidad de un tres dimensiones de la matriz $A$ sin cero modos, entonces su determinante de acuerdo a Quillen es:

$\mathrm{Det}(A) = e_1^{\dagger} \wedge e_2^{\dagger} \wedge e_3^{\dagger} \wedge A e_1 \wedge A e_2 \wedge A e_3 = \mathrm{det}(A) e_1^{\dagger} \wedge e_2^{\dagger} \wedge e_3^{\dagger} \wedge e_1 \wedge e_2 \wedge e_3 $

Donde $\mathrm{det}$ es el determinante de la matriz convencional. Observe que el Quillen determinante en este caso es sólo el convencional determinante multiplicado por el unidimensional vector unitario $e_1^{\dagger} \wedge e_2^{\dagger} \wedge e_3^{\dagger} \wedge e_1 \wedge e_2 \wedge e_3 $.

Ahora, no es difícil comprobar que el determinante de una matriz diagonal $ A = \mathrm{diag} [ \lambda_1, \lambda_2, , 0]$ con cero autovalores va a ser sólo el producto de su nonvanishing autovalores veces el vector unitario compuesto de la parte superior de la cuña producto de la einvectors con nonvanishing autovalores:

$\mathrm{Det}(A) =\lambda_1 \lambda_2,e_1^{\dagger} \wedge e_2^{\dagger} \wedge e_1 \wedge e_2 \equiv det^{'}(A) e_1^{\dagger} \wedge e_2^{\dagger} \wedge e_1 \wedge e_2$

Donde $ det^{'}(A)$ es el factor determinante en el subespacio excluyendo el cero modos. Por favor note que ahora $e_3$ desaparecido de la parte superior de la cuña de producto.

Respecto a las anomalías:

El valor escalar $\lambda_1 \lambda_2$ de la Quillen determinante es base dependiente, porque si uno se aplica una transformación unitaria:

$ A \rightarrow U^{\dagger} A U$

Sólo la completa superior de la cuña de producto $e_1^{\dagger} \wedge e_2^{\dagger} \wedge e_3^{\dagger} \wedge e_1 \wedge e_2 \wedge e_3 $ es invariante pero no el parcial: $e_1^{\dagger} \wedge e_2^{\dagger} \wedge e_1 \wedge e_2 $ .Por lo tanto el valor escalar de la determinante de los cambios.

Por tanto en este caso:

$\mathrm{Det}(U^{\dagger} A U) =c(A, U) \mathrm{det^{'}}(A)e_1^{\dagger} \wedge e_2^{\dagger} \wedge e_1 \wedge e_2 $

Donde $c(A, U) $ es un escalar dependiendo $A$$U$. En consecuencia, la Quillen determinante no es invariante bajo transformaciones unitarias.

La aplicación de dos días consecutivos de transformaciones unitarias, se observa que el adicional escalar debe satisfacer la relación:

$ c(A, UV) = c(V^{\dagger} A V, U) c(A, V)$

Esta relación se llama el cocycle condición.

Este fenómeno se produce cuando $\mathrm{D}$ es un operador de Dirac en el fondo de un medidor de campo. Debido al hecho de que existen cero modos, una transformación unitaria en la spinors y el medidor de campos da lugar a un escalar múltiples para el determinante derivados de la anomalía. Básicamente, hay un tipo de función de un medidor de campo y unitaria operador que satisface la cocycle condición (hasta un constante múltiple).

Por favor, consulte las siguientes notas de la conferencia y el siguiente artículo por M. Blau para su posterior lectura.