Demostrar que la intersección de un número finito de conjuntos abiertos es abierta.

Question

Más concretamente, dejemos que $O_1, . . . , O_n$ sea una colección finita de subconjuntos abiertos del continuo, $C$ . Entonces la intersección $O_1 · · · O_n$ también está abierto. Creo que es posible hacerlo sin considerar espacios métricos (y por tanto bolas de radio $r$ ). Además, si pudieras demostrar por qué la intersección de una cantidad infinita de subconjuntos abiertos resulta ser posiblemente cerrada, sería muy apreciado ya que esto es difícil de entender.

También se definen los conjuntos abiertos como conjuntos que no contienen sus extremos. Perdón por la falta de claridad.

Answer 1

Para su segunda pregunta, para cualquier entero positivo $n$ , dejemos que $A_n=(-1/n,1/n)$ .

La intersección de todos los $A_n$ es $\{0\}$ .

O bien dejar que $B_n=(0,1/n)$ . La intersección de todos los $B_n$ es el conjunto vacío, que es cerrado (y abierto).

La respuesta a la primera pregunta depende de los detalles de su definición de abierto. Definamos un conjunto $A$ de los reales para ser abierto si para cualquier $x\in A$ hay un positivo $\epsilon$ (que normalmente depende de $x$ ) tal que el intervalo $(x-\epsilon,x+\epsilon)$ es un subconjunto de $A$ .

Ahora dejemos que $x$ estar en la intersección de su $O_i$ . Entonces, para cada $i$ hay un positivo $\epsilon_i$ tal que $(x-\epsilon_i,x+\epsilon_i)$ es un subconjunto de $O_i$ . Sea $\epsilon$ sea el El más pequeño de la $\epsilon_i$ . Entonces el intervalo $(x-\epsilon,x+\epsilon)$ es un subconjunto de $O_1\cap O_2\cap\cdots\cap O_n$ .

Answer 2

Un conjunto $A$ está abierto si cada $x \in A$ existe alguna $\epsilon > 0$ tal que $B(x,\epsilon) \equiv \{y : y \in C,\, d(x,y)<\epsilon \} \subset A$ es decir $x$ está en alguna bola abierta que está en $A$ es decir, cada $x \in A$ es un punto interior.

Dejemos que $X = O_1 \bigcap O_2$ . Entonces cualquier $x \in X$ implica $x \in O_1$ y $x \in O_2$ , lo que implica que siempre hay que tener un balón abierto alrededor $x$ .

Lo demostramos mediante una contradicción. Ahora supongamos $X$ no está abierto. Como $X$ no está abierto, existe $x \in X$ tal que $x$ está en el límite de $X$ . Esto implica que $x$ está en el límite de $O_1$ o $O_2$ . Pero esto es una contradicción, ya que $x$ tiene que ser un punto interior de ambos $O_1$ y $O_2$ . Por lo tanto, todos los elementos de $X$ son puntos interiores. Por lo tanto, $X$ debe estar abierto.

Answer 3

Si usas un espacio topológico, por definición la intersección de dos conjuntos abiertos cualesquiera da un conjunto abierto, así que repitiendo eso finitamente muchas veces terminas con un conjunto abierto. Por ejemplo, dejemos que $O_1$ , $O_2$ y $O_3$ sean conjuntos abiertos. $O_1 \cap O_2$ está abierto, por lo que $(O_1\cap O_2)\cap O_3$ también está abierto. Si también hay un $O_4$ entonces $\left(\left(O_1\cap O_2\right)\cap O_3\right)\cap O_4$ es abierto. Este proceso puede llevarse a cabo para cualquier colección finita de conjuntos abiertos.

Answer 4

Dado que la recta real es un espacio topológico linealmente ordenado, los conjuntos abiertos pueden definirse como aquellos conjuntos que son uniones de intervalos abiertos, es decir, uniones de conjuntos de la forma $(a,b)$ . En ese caso supongamos que $U_0$ y $U_1$ son conjuntos abiertos. Entonces hay conjuntos índice $A_0$ y $A_1$ y las familias $\mathscr{I}_0=\{I_{0,\alpha}:\alpha\in A_0\}$ y $\mathscr{I}_1=\{I_{1,\alpha}:\alpha\in A_1\}$ de intervalos abiertos tales que $$U_0=\bigcup_{\alpha\in A_0}I_{0,\alpha}\qquad\text{and}\qquad U_1=\bigcup_{\alpha\in A_1}I_{1,\alpha}\;.$$

Entonces

$$\begin{align*} U_0\cap U_1&=\left(\bigcup_{\alpha\in A_0}I_{0,\alpha}\right)\cap\left(\bigcup_{\beta\in A_1}I_{1,\beta}\right)\\ &=\bigcup_{\alpha\in A_0}\left(I_{0,\alpha}\cap\bigcup_{\beta\in A_1}I_{1,\beta}\right)\\ &=\bigcup_{\alpha\in A_0}\left(\bigcup_{\beta\in A_1}\Big(I_{0,\alpha}\cap I_{1,\beta}\Big)\right)\\ &=\bigcup_{\langle\alpha,\beta\rangle\in A_0\times A_1}\Big(I_{0,\alpha}\cap I_{1,\beta}\Big)\;.\tag{1} \end{align*}$$

La intersección de dos intervalos abiertos es un intervalo abierto (posiblemente vacío), por lo que $(1)$ es una unión de intervalos abiertos y como tal es un conjunto abierto.

Esto demuestra que la intersección de dos conjuntos abiertos es abierta, y el resultado para cualquier colección finita de conjuntos abiertos se establece fácilmente por inducción. Supongamos que sabemos que la intersección de $n$ Los conjuntos abiertos son siempre abiertos. Sea $U_1,\dots,U_{n+1}$ sea cualquier $n+1$ conjuntos abiertos. Sea $U=U_1\cap\ldots\cap U_n$ por la hipótesis de inducción $U$ está abierto. Entonces $U_1\cap U_2\cap\ldots\cap U_n\cap U_{n+1}=U\cap U_{n+1}$ que, al ser la intersección de dos conjuntos abiertos, es abierto por el resultado demostrado anteriormente.

Answer 5

Esto debería ser realmente una respuesta de una sola línea: es parte de la definición de un espacio topológico.

Edición: Por supuesto, hay otras formas de definir los conjuntos abiertos. Por ejemplo, se puede definir un conjunto abierto como un conjunto en el que cada punto es un punto interior - entonces se puede demostrar que un punto en una intersección finita de conjuntos abiertos está todavía en el interior de esa intersección (no es cierto de la intersección infinita como el $e -balls$ contenida en cada conjunto abierto individual puede no tener un radio mínimo).