Encontrar el valor de la integral $$\int_0^{2\pi}\ln|a+b\sin x|dx$$ where $0\lt a\lt b$. ¿Cuál es el uso de esta desigualdad. He tratado de integrar la integral por partes, pero la integral de la 2ª término fue bastante desordenado.Por favor, ayudar.
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Mark Brackett
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Esto es sólo para $0<b < a $
\begin{align*} I &= \int_0^{2\pi}\log(a+\sqrt{a^2 - b^2}+be^{i\theta})d\theta + \int_0^{2\pi}\log(a+\sqrt{a^2 - b^2}+be^{-i\theta})d\theta\\ &= \int_0^{2\pi} \log \left(2a^2 +2a\sqrt{a^2 - b^2} + (a + \sqrt {a^2 - b^2}) b (e^{i\theta} + e^{-i\theta}) \right )d\theta\\ &= \int_0^{2\pi} \log (2 (a + \sqrt{a^2 - b^2}))d\theta + \int_0^{2\pi }\log(a + b \cos\theta)d\theta\\ \end{align*}
Por Gauss MVT, el valor de los dos primeros integral es $$4\pi\log(a + \sqrt{a^2 -b^2})$$ De ahí el por $0<b<a$ es $$\int_0^{2\pi} \log(a+ b\cos\theta)d\theta = 2 \pi \log \left(a + \sqrt{a^2 - b^2}\over 2\right)$$
EDIT:: La integral de $\log (a + b \sin \theta )$ es igual a la de $\log (a + b \cos \theta )$ $\theta$ va alrededor de $2 \pi$. También se puede hacer cambiando $be^{-i\theta}$ $-b e^{-i\theta}$está por encima de la derivación.
Para $0<a < b$, la integral es igual a la parte real de la solución anterior, como se ha mencionado por @Lucian en los comentarios.
Felix Marin
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\begin{align} &\int_{0}^{2\pi}\ln\pars{\verts{a + b\sin\pars{x}}}\,\dd x= 2\pi\ln\pars{\verts{b}} +\color{#c00000}{\int_{0}^{2\pi}\ln\pars{\verts{\mu + \sin\pars{x}}}\,\dd x} \\[3mm]&\mbox{where}\quad \mu \equiv {a \over b}\,,\quad\mbox{Note than}\quad 0 < \mu < 1 \end{align}
\begin{align} &\color{#c00000}{\int_{0}^{2\pi}\ln\pars{\verts{\mu + \sin\pars{x}}}\,\dd x} =\int_{-\pi}^{\pi}\ln\pars{\verts{\mu - \sin\pars{x}}}\,\dd x =\sum_{\sigma = \pm}\int_{0}^{\pi}\ln\pars{\verts{\mu + \sigma\sin\pars{x}}}\,\dd x \\[3mm]&=\sum_{\sigma = \pm}\int_{-\pi/2}^{\pi/2} \ln\pars{\verts{\mu + \sigma\cos\pars{x}}}\,\dd x =2\sum_{\sigma = \pm}\int_{0}^{\pi/2} \ln\pars{\verts{\mu + \sigma\cos\pars{x}}}\,\dd x \\[3mm]&=2\int_{0}^{\pi/2}\ln\pars{\verts{\mu - \cos\pars{x}}}\,\dd x +2\int_{0}^{\pi/2}\ln\pars{\mu + \cos\pars{x}}\,\dd x \\[3mm]&=2\int_{0}^{\tilde{\mu}}\ln\pars{\cos\pars{x} - \mu}\,\dd x +2\int^{\pi/2}_{\tilde{\mu}}\ln\pars{\mu - \cos\pars{x}}\,\dd x +2\int_{0}^{\pi/2}\ln\pars{\mu + \cos\pars{x}}\,\dd x \end{align} donde $\ds{\tilde{\mu} = \arccos\pars{\mu}}$.
$$ \color{#c00000}{\!\!\!\!\!\int_{0}^{2\pi}\ln\pars{\verts{\mu + \sin\pars{x}}}\,\dd x} = 2\int_{0}^{\tilde{\mu}}\ln\pars{\cos^{2}\pars{x} - \mu^{2}}\,\dd x +2\int^{\pi/2}_{\tilde{\mu}}\ln\pars{\mu^{2} - \cos^{2}\pars{x}}\,\dd x $$
Se puede tomar desde aquí ?.
