función de densidad

Question

Estoy haciendo este ejercicio de Estadística y no estoy seguro acerca de mi solución.

Encontrar la función de densidad de $Y=\max(X_1,\dots,X_n)$ si son i.i.d. todos

Esta fue mi opinión sobre esta pregunta: $F_Y(a)=P(X_1 \leq a, \dots, X_n \leq a)$. Que es independiente esto da $F_Y(a)=P(X_1 \leq a) \cdot P(X_2 \leq a) \dots P(X_n \leq a)= (P(X_1 \leq a))^n= (F_{X_1}(a))^n$. Así que la función de densidad es $f_Y(x)= \frac{\partial F_Y(x)}{\partial x}= n\cdot f_{X_1}(x) \cdot F_{X_1}^{n-1}(x)$.

¿Qué opinas de este argumento?

¿Cómo calcular $E[Y]$?

¡Gracias!

Answer 1

Tu respuesta se ve como una respuesta de libro de texto. Para calcular $E[Y]=\int yf_Y(y) \mathrm{d}y$ solo conecta en tu expresión $f(y)$, es decir, $$ E [Y] = n\int y f_ {X_1} (y) F_ {X_1} ^ {n-1} (y) \mathrm {d} y. $$ Si por ejemplo $X_i\sim U(0,1)$ y $f_{X_1}(x)=1$ si $0\leq x\leq 1$ y $F_{X_1}(x)=x$, lo $$ E [Y] = n \int_0^1 y ^ \mathrm{d}y n = \frac{n}{n+1}. $$