Por el bien de lo concreto, vamos a restringir el debate a la categoría de abelian grupos. El recinto del hotel, $$ 0 \to A \overset{q}{\to} B \overset{r}{\to}C \to 0$$ es una breve secuencia exacta. Una parte de la división lema estados:
Proposición 1: Si existe un mapa de $t : B \to A$ tal que $tq = \mathrm{id}_A$, entonces también existe un mapa de $u: C \to B$ tal que $r u = \mathrm{id}_C$.
Sin embargo, como en la anterior proposición se dice, el mapa de $u$ no es única! Por ejemplo, si \begin{align*} A = C = \mathbb{Z} && B = \mathbb{Z} \times \mathbb{Z} &&q(a) = (a,0) && r(a,c) = c && t(a,c) = a \end{align*}
a continuación, $u(b) = (b,b)$ es tan legitmate una opción como la más obvia $u(b) = (0,b)$. Pero, la prueba de la Proposición 1 en la wikipedia es constructivo y produce un determinado $u$. Este particular $u$ es único, si imponemos una condición más. Para ser explícitos, tenemos las siguientes:
Proposición 2: Si $t : B \to A$ es un mapa tal que $tq = \mathrm{id}_A$, entonces no es un único mapa $u: C \to B$ tal que $r u = \mathrm{id}_C$ y $$ 0 \leftarrow A \overset{t}{\leftarrow} B \overset{u}{\leftarrow}C \leftarrow 0$$ es una secuencia exacta.
La prueba: Las conclusiones a que arriba solo decir que $u$ debe ser un isomorfismo de $C$ a $\ker(t) \subset B$ con inverse $r \big\vert_{\ker(t)}$, lo $u$ está determinada únicamente. A ver $u$ existe, sólo tenemos que comprobar la restricción de $r$ es un isomorfismo $\ker(t) \to C$ es un isomorfismo. Inyectividad: si $x \in \ker(t)$ también pertenece a $\ker(r)$,$x = q(a)$$a \in A$$a = tq(a) = t(x) = 0$, de modo que $x = 0$. Surjectivity: si $c \in C$ es arbitrario, a continuación, elija cualquier $b \in B$ $r(b) = c$ y, a continuación, observe $b' = b - qt(b)$$r(b') = r(b) - rqt(b) = c$, pero también se $t(b') = t(b) - tqt(b) = t(b) - t(b) = 0$.
Mi pregunta es, ¿por qué la división lema no molestar con esta singularidad declaración? Parece que casi sin costo extra... Un par de posibilidades:
- Es la Proposición 2 simplemente no es muy útil?
- La Proposición 2 fallar en categorías más generales?
