Deje que $V$ ser el espacio vectorial $ \dim V=N$ y $A \in End(V)$ . Denota $$ \wedge ^k A^m( \mathbf {v}_1 \wedge\dots\wedge\mathbf {v}_k)= \sum_ {s_1, \dots ,s_k=0,1, \sum_j s_j=m} A^{s_1} \mathbf {v}_1 \wedge\dots\wedge A^{s_k} \mathbf {v}_k. $$ ( $A^0=I_V$ ). Quiero mostrar que $ \wedge ^N A^k$ $(k=1, \ldots ,N)$ puede expresarse como polinomios en $ \operatorname {Tr}(A), \operatorname {Tr}(A^2), \ldots , \operatorname {Tr}(A^N)$ . (Aquí $ \wedge ^N A^k$ puede ser identificado con un número).
El caso $k=1$ es la definición de rastro, $k=2,3$ puede ser calculado directamente. Traté de derivar una recursividad entre $ \wedge ^N A^{k+1}$ y $ \wedge ^N A^k$ (o con más términos) que utilizando un principio de inducción daría la declaración. El problema aquí es que (tal vez) hay mucha recursividad, pero sólo unos pocos pueden dar el camino correcto a la prueba.
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Su $ \wedge ^k A^m$ es sólo la polarización:
$ \wedge ^k A^m = {N \choose m} \wedge ^k( \underbrace {A, \dots ,A}_m,1, \dots ,1)$ ,
el lado derecho se refiere a $ \wedge ^k$ como un $k$ -forma lineal. Como sabemos, $ \wedge ^N$ es el determinante, así que $ \wedge ^N A^m$ son sólo los coeficientes del polinomio característico. Esas son funciones simétricas elementales de los valores propios, y $ \mathrm {tr} \, A^k$ son sumas de $k$ -de modo que los polinomios que buscas son precisamente los que aparecen en Las identidades de Newton .
