¿Existen funciones continuas "totalmente racionales" además de las funciones polinómicas o racionales de primer orden a trozos?

Question

Dejemos que $I \subseteq \mathbb{R}$ sea un intervalo y $f: I \to \mathbb{R}$ una función continua. Diremos que $f$ es totalmente racional si las siguientes proposiciones son verdaderas para cualquier $x\in I$ :

1. Si $x \in \mathbb{Q}$ entonces $f(x) \in \mathbb{Q}$

2. Si $f(x) \in \mathbb{Q}$ entonces $x \in \mathbb{Q}$

Un ejemplo sencillo de esta función es la función de identidad $f(x)=x$ . En general, cualquier función de la forma $f(x)=ax + b$ con $a,b\in \mathbb{Q}$ lo hará. Otra clase de funciones que son totalmente racionales son las de la forma $$f(x)=\frac{ax + b}{cx + d}\qquad \text{with}\ a,b,c,d\in \mathbb{Q} \ \text{and}\ x\neq-\frac{d}{c}.$$

Además de funciones de este tipo (y combinaciones a trozos de las mismas) no puedo encontrar ningún otro ejemplo de tales funciones. Es fácil ver, por ejemplo, que cualquier función polinómica o racional de orden superior no cumple la condición (2).

¿Pero existen otras funciones totalmente racionales?

Answer 1

Aquí hay un ejemplo diferente con la propiedad:

$f(n + 0.a_1 a_2 a_3 \dots) = 0.0 a_1 0 a_2 0 a_3 \dots$

o

$f(n + \sum_{i \ge 1}{a_i \cdot 10^{-i}}) = \sum_{i \ge 1}{a_i \cdot 100^{-i}}$

En otras palabras, la función toma la expansión decimal de la parte fraccionaria e inserta un $0$ entre cada dígito. O lo escribe en base $10$ y lo lee de nuevo en base $100$ .

La función mapea números con expansiones eventualmente periódicas (números racionales) a números con expansiones eventualmente periódicas, y lo contrario también es cierto. Además, es continua.