Ejemplos donde $1 \in W_0^{k,p}\left( U \right)$

Question

$M$ es un múltiple de Riemannian, $U$ es un dominio en $M$. Considerar el % de espacio de Sobolev $W_0^{k,p}\left( U \right)$: el cierre de $C_0^\infty \left( U \right)$ (funciones lisas con soporte compacto) en ${W^{k,p}}\left( U \right)$. ¿Luego hay ejemplos donde $1 \in W_0^{k,p}\left( U \right)$?

Answer 1

Que $M$ ser cerrado y compacto. Que $U$ sea un componente conectado de $M$. Es abierto y conectado, y por lo tanto es un dominio (por la mayoría de las definiciones). Claramente $1 \in W^{k,p}_0(U)$.

Answer 2

Si una función pertenece a $W^{k,p}_0(U)$, entonces su extensión por $0$ fuera de $U$ pertenece a $W^{k,p}(M)$. (Prueba aquí). Es posible que $\chi_{U}$$W^{k,p}(M)$? Ciertamente no si $U$ tiene un vacío suave límite, ya que $\chi_{U}$ tendría un salto de discontinuidad en la frontera, y por lo tanto no tienen una ACL representante. Por otro lado, si $K$ es un conjunto compacto de cero $W^{k,p}$ de su capacidad, a continuación,$1\in W^{k,p}_0(M\setminus K)$. Esto es más o menos por la definición de capacidad: podemos encontrar una función con pequeño $W^{k,p}$ norma que se $1$ en un barrio de $K$, y restar de $1$ para obtener una aproximación a $\chi_{M\setminus K}$.

Ejemplo sencillo: $U$ es el complemento de un subconjunto finito de $\mathbb R^n$ (o $n$-esfera, si lo prefiere), y $kp<n$. En efecto, bajo la suposición de $kp<n$ la función de $|x|^{-\epsilon}$ pertenece a $W^{k,p}$ para las pequeñas suficiente $\epsilon>0$. El truncamiento y la escala según corresponda, encontramos que la capacidad de un punto es cero.

El mismo funciona para $kp=n\ge 2$, pero uno tiene que usar algo como $\log^{1/2} |x|^{-1}$ en lugar de $|x|^{-\epsilon}$