Tomar un casco convexo no aumentar un supremum de una función lineal

Question

Deje $X$ ser un espacio vectorial topológico, vamos a $f:X\to\Bbb R$ ser un continuo de la función lineal y deje $P(X)$ denota el conjunto de todos los Borel medidas de probabilidad en $X$. Para cualquier $M\subseteq X$ definimos el fuerte convex hull como $$ \operatorname{sco}(M) = \left\{\int y\;\mathrm d\nu: \nu\en P(X) \text{ y } \nu^*(M) =1\right\}. $$ Es cierto que para cualquier no-vacía $M$ sostiene que $\sup_M f = \sup_{\operatorname{sco(M)}}f$? En caso de que el último hecho es cierto, yo sería feliz si alguien puede proporcionar una referencia a este.

No estoy seguro de si la integral es siempre definidas sobre espacios vectoriales topológicos, así que la motivación fue el caso de las $X=P(A)$ donde $A$ es un espacio de Borel, y $P(A)$ está dotado de la topología de la debilidad de la convergencia. En esta última situación, la integración está bien definido, pero supongo que un resultado similar se mantenga para un caso más general también. Siéntase libre de corregirme.

Answer 1

Continua $f$, yo creo - no estoy seguro acerca de mi teoría de la medida para estar cerca de algunos - que se puede argumentar como sigue:

$M \subset \operatorname{sco}(M)$ sigue eligiendo $\delta_x$ $x \in M$ como la medida de probabilidad. Por lo tanto, $\sup_M f \leqslant \sup_{\operatorname{sco}(M)} f$. Así si $\sup_M f = \infty$, tiene $\sup_{\operatorname{sco}(M)} f = \sup_M f$. Y si $c = \sup_M f < \infty$, para cualquier $\varepsilon > 0$, el % de medio espacio abierto $H_\varepsilon := f^{-1}((-\infty,\, c+\varepsilon))$es un barrio de $M$, así

$$x_\nu := \int_X y\,d\nu = \int_{H_\varepsilon} y\,d\nu \in \overline{H_\varepsilon} \subset f^{-1}((-\infty,\, c+\varepsilon])$$

cada $\nu \in P(X)$ $\nu^\ast(M) = 1$. Dejando entonces $\varepsilon \to 0$ muestra $f(x_\nu) \leqslant c$, por lo tanto, $\sup_{\operatorname{sco}(M)} f = \sup_M f$.