¿Cómo podemos convertir los valores proporcionales a las probabilidades a las probabilidades de Bernoulli?

Question

De acuerdo con Wikipedia el parámetro en una distribución de Bernoulli debería ser $0<p<1$ .

Estoy leyendo este famoso papel que propone el Proceso de Dirichlet Jerárquico, y en la página 1580, A.6 y la frase que sigue a ella, declaran

$$q(s_j| \alpha_0 ) \propto\Bigg ( \frac {n_{j..}}{ \alpha_0 } \Bigg )^{s_j}$$

pero $n_{j..}$ es un entero que puede tomar cualquier valor grande, mientras que $ \alpha_0 $ es un valor real que casi siempre está muy por debajo $n_{j..}$ . También $s_j$ es un valor binario, ya sea 0 o 1.

¿Cómo puedo convertirlo en un verdadero Bernoulli?

Answer 1

Desde $p(1)=p$ y $p(0)=1-p$ son ambas proporcionales a una expresión conocida* (las probabilidades no escaladas, $u(i)=c.p(i)$ con la misma constante desconocida de proporcionalidad, $c$ ) y sabes que el $p(i)$ deben sumar a los valores $1$ Entonces $u(0)+u(1)=c$ .

Lo que significa que $p(i) = \frac {u(i)}{u(0)+u(1)},\: i=0,1$ .

(Esta noción se utiliza ampliamente en las estadísticas bayesianas con muchos tipos de variables discretas).

Tengan en cuenta que $u(0)=1$ (siempre, ya que el poder es $s_i=0$ ), así que $p(0) = 1/(1+u(1))$ y $p(1)=u(1)/(1+u(1))$

*(estos $p$ son $q(s_i| \alpha_0 )$ en el periódico, por $s_i=0$ y $1$ respectivamente)