Esto es imposible: cualquier polinomio anillo sobre un campo es un U. F. D. En tales dominios, elementos irreductibles son los principales.
El ejemplo más sencillo es el anillo de la cuadrática enteros $\;\mathbf Z[i\sqrt 5]$, que no es una U. F. D.. En este ring, tenemos
$$2 \cdot 3=(1+i\sqrt 5)(1-i\sqrt 5),$$
de modo que $2$ divide el producto $\;(1+i\sqrt 5)(1-i\sqrt 5)$, pero no divide alguno de los factores, ya que implicaría la norma $N(2)=4$ divide $N(1\pm i\sqrt 5)=6$.
$2\;$ es irreductible por razones similares: si $ a+ib\sqrt 5$ es un estricto divisor de $2$ y no de la unidad, su norma $a^2+5b^2$ es no trivial de divisor de $4$, es decir,$\;a^2+5b^2=2$. Por desgracia, este diophantine ecuación no tiene solución.
Por lo tanto, $2$ no es el primer elemento irreductible. Lo mismo es cierto para todos los elementos en estos factorisations de $6$.
Otro ejemplo, con el polinomio de anillos:
Considerar el anillo de funciones polinómicas en la cúspide cúbicos
$$R=\mathbf C[X,Y]/(X^2-Y^3).$$
Esta es una parte integral de dominio, como la curva es irreductible. En realidad, tenemos un homomorphism:
\begin{align*}
\mathbf C[X,Y]&\longrightarrow\mathbf C[T^2,T^3]\\
X&\longmapsto T^3,\\
Y&\longmapsto T^2.
\end{align*}
Este homomorphism es surjective, y su núcleo es el ideal de la $(X^2-Y^3)$, por lo que se induce un isomorfismo $R\simeq \mathbf C[T^2,T^3]$.
Si denotamos $x$ $y$ la congruencia de las clases de $X$ $Y$ respectivamente, tenemos $x^2=y^3$. El elemento $y$ es irreductible, para el grado de razones, pero no es primo, ya que divide $x^2$ pero no dividen $x$.
