Es sencillo demostrar con Hopital que
$$ \lim_{x \to 0} \frac{x-\sin(x)}{x^3} = \frac{1}{6}$$
¿Es posible resolver este límite sin Hopital o Taylor (sin derivadas)?
Supongamos que $$\displaystyle \lim_{x\rightarrow 0}\frac{x-\sin x}{x^3} = L$$ (Una cantidad finita).
Ahora reemplaza $x\rightarrow 3y$ , entonces obtenemos $$\displaystyle \lim_{y\rightarrow 0}\frac{3y-\sin 3y}{27y^3} = L$$
Ahora, utilizando la fórmula $$\sin 3y = 3\sin y-4\sin^3 y$$
obtenemos $$\displaystyle \lim_{y\rightarrow 0}\frac{3y-3\sin y+4\sin^3 y}{27y^3} = L$$
Así que $$\displaystyle \frac{1}{9}\lim_{y\rightarrow 0}\frac{y-\sin y}{y^3}+\frac{4}{27}\displaystyle \lim_{y\rightarrow 0}\left(\frac{\sin y}{y}\right)^3=L$$
Así que $$\frac{1}{9}L+\frac{4}{27} = L\Rightarrow \frac{8}{9}L = \frac{4}{27}\Rightarrow L=\frac{1}{6}$$
@juantheron Es un enfoque muy interesante sin duda. +1) ¿Ha sustituido $x=3y$ porque hay un cubo en el denominador? Estoy tratando de llegar a alguna generalización...
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Ver la hermosa respuesta del moderador robjohn math.stackexchange.com/a/438121/72031 A partir de la respuesta debería ser muy obvio que el problema es muy difícil si se prohíbe el uso de la diferenciación. Esto demuestra de alguna manera el gran poder de la diferenciación.
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math.stackexchange.com/a/158134/1242